Prawa Ficka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prawa Ficka – dwa prawa dotyczące zjawiska dyfuzji, których sformułowanie przypisuje się niemieckiemu fizykowi i matematykowi Adolfowi Fickowi (1829–1901). Są one współcześnie stosowane w modelowaniu procesów dyfuzji w tkankach, neuronach, biopolimerach, farmakologii, w domieszkowaniu półprzewodników i wielu innych zastosowaniach.

Pierwsze prawo Ficka[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze prawo Ficka jest stosowane w opisie procesów dyfuzji, np. kiedy stężenie strumienia dyfuzji objętościowej nie zmienia się w czasie

W przestrzeni jednowymiarowej strumień dyfuzji wynosi:

gdzie:

– gęstość strumienia składnika (ilość substancji przepływająca przez jednostkowy przekrój w jednostce czasu) [(ilość substancji) × długość−2 × czas−1], np.
– współczynnik proporcjonalności dyfuzji w jednostce [długość2 × czas−1], np.
stężenie [(ilość substancji) × długość−3], np.
– odległość od źródła dyfundującej substancji (długość), np. [m].

Ilość substancji może być wyrażona za pomocą różnych wielkości fizycznych, np. masy, liczby moli cząsteczek lub liczby cząsteczek, jednak powinna być wyrażona za pomocą tej samej wielkości w wyrażeniach opisujących strumień i stężenie. Wtedy wymiar współczynnika dyfuzji jest taki sam, niezależnie od wyboru tej wielkości[1].

(współczynnik dyfuzji) jest proporcjonalny do szybkości dyfundujących cząsteczek, zależy także od temperatury, specyficznej budowy ośrodka, lepkości substancji (w tym przypadku cząsteczki zachowują się zgodnie z prawem Stokesa-Einsteina). Współczynnik ten określa zdolność dyfundowania cząsteczek pod wpływem gradientu stężenia. Dla np. cząsteczek związków organicznych współczynnik dyfuzji mieści się w granicach: 10−11 do 10−10

W dwu lub większej ilości wymiarów należy użyć operatora nabla lub operatora gradientu, co prowadzi do wzoru:

Drugie prawo Ficka[edytuj | edytuj kod]

Drugie prawo Ficka przewiduje jak dyfuzja powoduje zmianę stężenia lokalnie w czasie:

gdzie:

– współczynnik proporcjonalności dyfuzji w jednostkach [długość2 × czas−1], np.
– stężenie [ilość substancji × długość−3], np.
– odległość/pozycja (długość), np. [m] (metr),
– czas [s].

Prawo to może zostać wyprowadzone z pierwszego prawa Ficka oraz prawa zachowania masy:

Zakładając, że wartość współczynnika dyfuzyjności jest stała (niezależna od stężenia), można otrzymać drugie prawo Ficka w postaci:

W przypadku dyfuzji w przestrzeni dwu lub więcej wymiarowej drugie prawo Ficka przyjmuje postać:

czyli sprowadza się do równania przewodnictwa cieplnego.

Jeśli wartość współczynnika dyfuzyjności nie jest stała, ale zależy od położenia lub stężenia, drugie prawo Ficka przyjmuje postać:

W przypadku, gdy stężenie nie zmienia się w czasie, wartość po lewej stronie powyższego równania przyjmuje 0. W przypadku jednowymiarowym przy stałym rozwiązanie będzie liniowa zmiana stężenia wzdłuż odległości W przypadku przestrzeni dwu- lub więcej wymiarowej prawo Ficka przybierze postać:

a zatem jest to równanie różniczkowe Laplace’a. Rozwiązaniem tego równania są zawsze funkcje harmoniczne.

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Równania bazujące na prawach Ficka są szeroko stosowane w modelowaniu procesów dyfuzji, np. tkankach, neuronach, biopolimerach, farmakologii, w domieszkowaniu półprzewodników itd. Duża liczba eksperymentów (szczególnie przy modelowaniu polimerów) dowodzi, że trzeba uwzględnić dodatkowe zjawiska, jak np. zeszklenie.

Prawa Ficka są też stosowane w modelach transportu masy Onsagera.

Zależność temperaturowa od współczynnika proporcjonalności dyfuzji[edytuj | edytuj kod]

Współczynnik proporcjonalności dyfuzji D często można przybliżyć:

gdzie:

– współczynnik proporcjonalności dyfuzji w jednostkach [długość2 × czas−1], np.
– maksymalny współczynnik proporcjonalności dyfuzji (w nieskończenie wysokiej temperaturze),
energia aktywacji dla dyfuzji w jednostce [energia (ilość)−1],
– temperatura (w skali Kelvina lub Rankine’a),
stała gazowa w jednostkach [energia × temperatura−1 (ilość substancji)−1].

Równanie to nosi nazwę równania Arrheniusa

Współczynnik proporcjonalności dyfuzji jest w przybliżeniu 10 000 razy większy w powietrzu niż w wodzie. Na przykład dwutlenek węgla (CO2) posiada współczynnik proporcjonalności dyfuzji równy 16 mm2/s w powietrzu, w wodzie natomiast 0,0016 mm2/s[2].

Dyfuzja przez membranę[edytuj | edytuj kod]

Z pierwszego prawa Ficka wynika równanie[3]:

Z równania tego wynika, że szybkość dyfuzji gazu przez membranę zależy od:

współczynnika dyfuzji,
– eksperymentalnie wyznaczonej stałej dla danego gazu w określonej temperaturze,
– współczynnika proporcjonalności do powierzchni na której zachodzi dyfuzja,
– współczynników proporcjonalności do różnicy ciśnień cząstkowych gazu po obu stronach membrany oraz
– współczynników odwrotnej proporcjonalności do grubości membrany (drogi na której zachodzi dyfuzja).

Ilość wymiany gazu wzdłuż membrany w środowisku cieczy można określić łącząc powyższe równanie razem z prawami Grahama.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Krzysztof Pigoń, Zdzisław Ruziewicz: Chemia fizyczna. T. I: Podstawy fenomenologiczne. Warszawa: PWN, 2007, s. 437–438. ISBN 978-83-01-15054-9.
  2. http://www.cco.caltech.edu/~brokawc/Bi145/Diffusion.html.
  3. http://www.lib.mcg.edu/edu/eshuphysio/program/section3/3ch9/s3ch9_2.htm. [zarchiwizowane z tego adresu].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Fick, „Phil. Mag.”, (1855), 10, 30.
  • A. Fick, „Poggendorff’s Annel. Physik.”, (1855), 94, 59.
  • W.F. Smith, Foundations of Materials Science and Engineering 3rd ed., McGraw-Hill, 2004.
  • H.C. Berg, Random Walks in Biology, Princeton, 1977.
  • Jerzy Dereń, Chemia ciała stałego, PWN, 1975.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]