Model ARCH

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Model ARCH (ang. Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity model, model autoregresji z heteroskedastycznością warunkową) – model ekonometryczny służący do analizy szeregów czasowych. Stosuje się go głównie w analizie finansowej zmienności cen instrumentów finansowych.

W modelu ARCH zakłada się, że wariancja błędu losowego w danym okresie jest funkcją wartości błędów losowych w okresach poprzednich.

Model ARCH został po raz pierwszy zaproponowany w 1982 roku przez amerykańskiego ekonomistę, Roberta Engle, za co został on uhonorowany w 2003 roku Nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii.

Definicja[edytuj]

Model ARCH rzędu p, co zapisuje się zazwyczaj jako ARCH(p), zdefiniowany został przez Engle'a przy pomocy następujących dwóch zależności:

Z równań tych wynika, że zmienna losowa ma wartość oczekiwaną równą zero, oraz wariancję, która zależy od realizacji zmiennych losowych y w p poprzednich okresach. We współczesnych zastosowaniach najczęściej zakłada się, że funkcja ma postać:

gdzie oraz .

Przykładowo model ARCH(1) można zapisać jako:

  1. gdzie

Model GARCH[edytuj]

Model ARCH można uogólnić na model GARCH (skrót od ang. Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity model, uogólniony ARCH), w którym dodatkowo wprowadza się bezpośrednią zależność od poprzednich wartości . Model GARCH(p,q) opisuje się szeregiem

gdzie i , oraz

(niektóre źródła definiują model i stosują konwencję ze zamienionych miejscami indeksami p i q)

Czasami znosi się ograniczenie na współczynniki , ale wprowadza to problem w postaci możliwych ujemnej wartości , co nie jest w pełni sensowne.

W 1986 roku Bollerslev opublikował artykuł, w którym wprowadził uogólniony model ARCH (generalized ARCH, GARCH), wzorując się na relacji między modelami AR i ARMA. Okazało się, że model ten stał się bardziej przydatny w praktyce niż wcześniejszy ARCH na skutek tego, iż: procesy finansowe wymagają dużych rzędów opóźnień dla prawidłowego modelowania; estymacja parametrów modelu ARCH prowadziła do załamania założeń o nieujemności wariancji warunkowej; model GARCH lepiej niż ARCH dostosowuje się do opisu rozkładów o grubych ogonach.

Najczęściej, model GARCH stosuje się wtedy, gdy liczba opóźnień w modelu ARCH jest zbyt duża, a także wówczas, gdy kryteria doboru modeli (np. Schwarza), wskazują na przewagę modelu GARCH nad ARCH.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Robert F. Engle. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. „Econometrica”. 50 (4), s. 987–1007, 1982.