Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Nierówność Poincarégo – rezultat dotyczący ograniczania normy
L
p
{\displaystyle L^{p}}
przestrzeni Sobolewa przez normę jej gradientu .
Niech
1
⩽
p
<
+
∞
{\displaystyle 1\leqslant p<+\infty }
Ω
{\displaystyle \Omega }
otwartym , ograniczonym i spójnym podzbiorem
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
C
1
.
{\displaystyle C^{1}.}
C
>
0
,
{\displaystyle C>0,}
u
{\displaystyle u}
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}
‖
u
−
(
u
)
Ω
‖
L
p
⩽
C
‖
∇
u
‖
L
p
,
{\displaystyle \|u-(u)_{\Omega }\|_{L^{p}}\leqslant C\|\nabla u\|_{L^{p}},}
gdzie:
(
u
)
Ω
=
1
m
(
Ω
)
∫
Ω
u
(
x
)
d
x
{\displaystyle (u)_{\Omega }={\frac {1}{m(\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)dx}
u
{\displaystyle u}
Ω
,
{\displaystyle \Omega ,}
m
(
Ω
)
{\displaystyle m(\Omega )}
miarę Lebesgue’a na
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Ω
,
{\displaystyle \Omega ,}
‖
∇
u
‖
L
p
{\displaystyle \|\nabla u\|_{L^{p}}}
‖
∇
u
‖
L
p
=
(
∑
j
=
1
n
‖
∂
u
∂
x
j
‖
L
p
p
)
1
/
p
.
{\displaystyle \|\nabla u\|_{L^{p}}=(\sum _{j=1}^{n}\|{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\|_{L^{p}}^{p})^{1/p}.}
