Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Norma operatorowa – norma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi . Jeżeli
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
‖
T
‖
=
inf
{
c
>
0
:
‖
T
x
‖
⩽
c
‖
x
‖
dla każdego
x
∈
X
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\inf\{c>0:\|Tx\|\leqslant c\|x\|{\mbox{ dla każdego }}x\in X\}\end{aligned}}}
określa normę w przestrzeni
B
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
Zachodzą ponadto następujące równości
‖
T
‖
=
sup
{
‖
T
x
‖
:
x
∈
X
,
‖
x
‖
⩽
1
}
=
sup
{
‖
T
x
‖
:
x
∈
X
,
‖
x
‖
=
1
}
=
sup
{
‖
T
x
‖
‖
x
‖
:
x
∈
X
,
x
≠
0
}
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in X,\;\|x\|\leqslant 1\}\\&=\sup\{\|Tx\|:x\in X,\;\|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in X,\;x\neq 0\right\},\end{aligned}}}
przy czym ostatnie dwie mają sens w przypadku, gdy
X
{\displaystyle X}
Przestrzeń
B
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}
przestrzenią Banacha , gdy
Y
{\displaystyle Y}
[1]
Dowód . Niech
(
T
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle (T_{n})_{n=1}^{\infty }}
ciągiem Cauchy’ego w
B
(
X
,
Y
)
.
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y).}
(
T
n
x
)
n
=
1
∞
{\displaystyle (T_{n}x)_{n=1}^{\infty }}
x
{\displaystyle x}
X
,
{\displaystyle X,}
‖
T
n
x
−
T
m
x
‖
⩽
‖
T
n
−
T
m
‖
‖
x
‖
.
{\displaystyle \|T_{n}x-T_{m}x\|\leqslant \|T_{n}-T_{m}\|\|x\|.}
Używając zupełności
Y
,
{\displaystyle Y,}
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T\colon X\to Y}
T
x
:=
lim
n
→
∞
T
n
x
.
{\displaystyle Tx:=\lim _{n\to \infty }T_{n}x.}
W szczególności
T
{\displaystyle T}
(
T
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle (T_{n})_{n=1}^{\infty }}
‖
T
x
‖
⩽
sup
n
∈
N
‖
T
n
x
‖
⩽
sup
n
∈
N
‖
T
n
‖
⋅
‖
x
‖
<
∞
,
{\displaystyle \|Tx\|\leqslant \sup _{n\in \mathbb {N} }\|T_{n}x\|\leqslant \sup _{n\in \mathbb {N} }\|T_{n}\|\cdot \|x\|<\infty ,}
z uwagi na to, że ciągi Cauchy’ego są ograniczone. Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że operator
T
{\displaystyle T}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
N
,
{\displaystyle N,}
n
,
m
⩾
N
{\displaystyle n,m\geqslant N}
‖
T
n
−
T
m
‖
<
ϵ
.
{\displaystyle \|T_{n}-T_{m}\|<\epsilon .}
W szczególności
‖
T
n
x
−
T
m
x
‖
<
ϵ
{\displaystyle \|T_{n}x-T_{m}x\|<\epsilon }
dla elementów
x
{\displaystyle x}
X
,
{\displaystyle X,}
‖
x
‖
⩽
1
{\displaystyle \|x\|\leqslant 1}
n
,
m
⩾
N
.
{\displaystyle n,m\geqslant N.}
‖
T
n
x
−
T
x
‖
⩽
ϵ
,
{\displaystyle \|T_{n}x-Tx\|\leqslant \epsilon ,}
co pokazuje, że ciąg
(
T
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle (T_{n})_{n=1}^{\infty }}
T
.
{\displaystyle T.}
John B. Conway: A course in functional analysis . New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5 . Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory . New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183. 
