Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sformułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus[1].

Jednakowa ciągłość[edytuj | edytuj kod]

Dalej i oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę przekształceń liniowych przestrzeni w przestrzeń nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje takie otoczenie zera że

dla każdego W przypadku gdy i przestrzeniami unormowanymi, to rodzina jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

Twierdzenie Banacha-Steinhausa[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni w przestrzeń Jeżeli zbiór

jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni to jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór jest całą przestrzenią.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

  • Twierdzenie Baire’a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeżeli jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu przestrzeni zbiór jest ograniczony, to jest rodziną jednakowo ciągłą.
  • Jeżeli jest F-przestrzenią oraz jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni i o wartościach w przestrzeni który jest punktowo zbieżny do przekształcenia to przekształcenie jest operatorem liniowym i ciągłym.
  • Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]