Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sforumułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus[1].

Jednakowa ciągłość[edytuj]

Dalej i oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę przekształceń liniowych przestrzeni w przestrzeń nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje takie otoczenie zera , że

dla każdego . W przypadku gdy i przestrzeniami unormowanymi, to rodzina jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Twierdzenie Banacha-Steinhausa[edytuj]

Niech będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni w przestrzeń . Jeżeli zbiór

jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni , to jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór jest całą przestrzenią.

Wnioski[edytuj]

  • Twierdzenie Baire'a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire'a, można udowodnić, że jeżeli X jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu x przestrzeni X zbiór jest ograniczony, to jest rodziną jednakowo ciągłą.
  • Jeżeli X jest F-przestrzenią oraz jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni X i o wartościach w przestrzeni Y, który jest punktowo zbieżny do przekształcenia , to przekształcenie jest operatorem liniowym i ciągłym.
  • Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009, s. 55-56.