Obszar normalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Obszar (w ) normalny względem osi OX – podzbiór D płaszczyzny z wyróżnionym kartezjańskim układem współrzędnych, który jest ograniczony dwoma wykresami funkcji ciągłych oraz prostymi równoległymi do osi OY.

Zbiór jest obszarem normalnym względem osi OX, jeśli

[1]

gdzie są funkcjami ciągłymi,

Proste i ograniczają obszar po prawej i lewej stronie, a krzywe i odpowiednio od góry i dołu.

Pole obszaru normalnego[edytuj | edytuj kod]

Pole obszaru normalnego dane jest wzorem

Dowód:

jest ciągła w przedziale zatem spełnia założenia twierdzenia Weierstraßa, więc zachodzi dla pewnego

Jeżeli to przesuwamy obszar o wektor

Otrzymany obszar bo przesunięcie o wektor (czyli translacja) jest izometrią.

Oznaczmy i

Pole tego obszaru normalnego jest równe różnicy dwóch trapezów krzywoliniowych:

ponieważ i różnią się od i tylko o stałą.

q.e.d.

Obszar normalny w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Zbiór jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xy jeśli istnieje obszar normalny oraz funkcje ograniczone i ciągłe takie, że:

[2]

Analogicznie definiuje się obszar normalny względem innych płaszczyzn.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Michał Półtorak: Wykład 22 - Całki wielokrotne. W: Analiza matematyczna [on-line]. Otwarte zasoby edukacyjne AGH w Krakowie. [dostęp 2012-02-15].
  2. mgr Piotr Figurny: SIMR 2010/2011, Analiza 2, wykład 10. 2011-04-19. s. 4. [dostęp 2012-02-15].