Układ współrzędnych kartezjańskich

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych mający dwie prostopadłe osie. Pewne cechy takiego układu ma też znana od czasów starożytnych szachownica oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora.

Pochodzenie nazwy[edytuj | edytuj kod]

Nazwa układu pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (René Descartes, franc. przymiotnik cartesien), który wprowadził tę ideę w 1637 w traktacie La Géométrie[1]. Już wcześniej, w 1636 metody prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak tego nie opublikował, przez co pozostała nieznana. Kartezjusz opracował układ współrzędnych niezależnie, co wywołało spór o pierwszeństwo z Fermatem. Spór zakończył się ostatecznie pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług[2].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

  • punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą lub cyfrą
  • ciąg n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
    • (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
    • (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.

Współrzędne[edytuj | edytuj kod]

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu

  1. Tworzymy rzut prostokątny punktu na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
  2. Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

  • – historyczna nazwa odcięta, łac. abscissa,
  • – historyczna nazwa rzędna, łac. ordinata,
  • – historyczna nazwa kota, łac. applicata.

Ćwiartki i oktanty[edytuj | edytuj kod]

Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich.

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosi[3]. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (−,+), III (−,−) oraz IV (+,−), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami, zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,− na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem.

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi do to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences: plus la dioptrique, les météores, et la géométrie, qui sont des essais de cete méthode. Lejda: Jan Maire, 1637.
  2. Neil Schlager, Josh Lauer (red.), Science and Its Times. Understanding the Social Significance of Scientific Discovery, t. III. 1450-1699, Farmington Hills, MI: Gale Group, 2000, s. 242.
  3. Nie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.