Okręgi Villarceau
Okręgi Villarceau – para okręgów powstała jak zbiór punktów wspólnych torusa i płaszczyzny przecinającej go pod określonym kątem[1].
Historia
[edytuj | edytuj kod]Nazwa okręgów pochodzi od francuskiego astronoma Antoine’a-Josepha Yvona Villarceau, który odkrył nową rodzinę okręgów powstałych z przecięcia torusa płaszczyzną, oprócz wcześniej znanych konstrukcji wykreślających południki i równoleżniki[2].
Obserwacje
[edytuj | edytuj kod]
- Przez dowolny punkt na torusie można przeprowadzić cztery okręgi, które leżą na tym torusie: dwa okręgi Villarceau, jeden południk i jeden równoleżnik[3][4].
- Płaszczyzna tworząca okręgi Villarceau jest styczna do torusa w dwóch punktach[5].
- Wizualizacja rozwłóknienia Hopfa sfery objawia się jako zbiór okręgów Villarceau układających się w kształt torusów[6].
- Przecinające się okręgi Villarceau mają zawsze dwa punkty wspólne[7].
- Okrąg Villarceau jest loksodromą południków i równoleżników[8].
- Promień okręgu Villarceau jest równy odległości środka obracanego okręgu od prostej, która jest osią obrotu w konstrukcji torusa[9].
Nawiązania
[edytuj | edytuj kod].jpg)
W budynku Musée de l’Œuvre Notre-Dame znajduje się sześciokątna wieża. Została ona zaprojektowana przez architekta Hansa Thomanna Uhlbergera. Na jej szczyt prowadzą kręte schody, które mają na górnym końcu poręczy na kolumnie ozdobny ornament[10]. Francuski matematyk Marcel Berger rozpoznał w nim „okręgi Villarceau”[11], co wielokrotnie stwierdzał w swoich publikacjach[12]. Oznaczałoby to, że Uhlberger miał wiedzę na temat tych okręgów. Jednak te przypuszczenia podawane są w wątpliwość, a specyficzne zakończenie może być przedłużeniem konstrukcji poręczy[13].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Bil 2010 ↓, s. 5.
- ↑ Villarceau 1848 ↓, s. 246.
- ↑ Baird 2018 ↓, s. 2.
- ↑ Guz ↓.
- ↑ Nouvelles annales de mathématiques 1859 ↓, s. 259.
- ↑ Urbantke 2003 ↓, s. 128.
- ↑ Encyklopedia szkolna ↓, s. 286.
- ↑ Brown 1923 ↓, s. 193.
- ↑ Baird 2018 ↓, s. 3.
- ↑ Roegel 2014 ↓, s. 1.
- ↑ Berger 2010 ↓.
- ↑ Roegel 2014 ↓, s. 6.
- ↑ Roegel 2014 ↓, s. 10.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Eric Baird, Villarceau circles and variable-geometry toroidal coils, lipiec 2018, DOI: 10.13140/RG.2.2.29729.51047/1 (ang.).
- Marcel Berger, Villarceau Circles, John Moran (tłum.), marzec 2010 [dostęp 2020-12-06] (ang.).
- Tadeusz Bil, Mechanizm Bennetta w geometrii torusów, „Acta mechanica et automatica”, 4 (1), Koszalin: Politechnika Koszalińska, 2010, s. 5-8.
- B.H. Brown, A geometric paradox, „The Americain Mathematical Monthly”, 30 (4), 1923, 193-195 (193), JSTOR: 2298454 (ang.).
- Sebastian Guz, Torus [online], Wrocławski Portal Matematyczny [dostęp 2020-12-06].
- Denis Roegel, The “Villarceau circles” in Uhlberger’s staircase (ca. 1580) [online], 2 lutego 2014, hal-00941465 [dostęp 2020-12-06] (ang.).
- H.K. Urbantke, The Hopf fibration — seven times in physics, „Journal of Geometry and Physics”, 46 (2), 2003, s. 125-150, DOI: 10.1016/S0393-0440(02)00121-3 (ang.).
- Yvon Villarceau, Extrait d’une note communiquée à M. Babinet par M. Yvon Villarceau, „Comptes-rendus de l’Académie des sciences”, 27, 1848, s. 246 (fr.).
- Section du tore par un plan tangent à cette surface et passant par son centre, „Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale”, 18, 1859 (1), s. 258-261 (fr.).
- Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), ISBN 83-02-02551-8.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein, Villarceau Circles, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- Hopf fibration showing Villarceau circles [online] [dostęp 2020-12-06].
- Torus from Villarceau Circles [online], CutOutFoldUp [dostęp 2020-12-08].