Półnorma

Półnorma (lub seminorma) – podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, tj. funkcja $p\colon X\to [0,\infty ),$ gdzie X jest przestrzenią liniową, spełniająca warunki

1. $p(x+y)\leqslant p(x)+p(y),$
2. $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$

dla wszystkich elementów $x,y$ przestrzeni $X$ oraz wszystkich skalarów $\alpha .$

Własności

Jeżeli $p$ jest półnormą w przestrzeni $X,$ to

• $|p(x)-p(y)|\leqslant p(x-y)$ dla wszystkich $x,y\in X,$
• $p(x)\geqslant 0$ dla wszystkich $x,y\in X,$
• $p(0)=0.$

Ponadto zbiór

$\{x\in X\colon \,p(x)=0\}$

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X,$ a zbiór

$\{x\in X\colon \,p(x)<1\}$

jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego oraz $p$ jest jego funkcjonałem Minkowskiego.

Przykłady

• Jeżeli $A\subseteq X$ jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał Minkowskiego $\mu _{A}$ jest półnormą.
• Każda norma jest półnormą.

Wprowadzanie topologii przez rodzinę półnorm

Jeśli $X$ jest przestrzenią liniową, to rodzinę ${\mathcal {P}}$ półnorm w przestrzeni $X$ nazywamy rozdzielającą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in X\setminus \{0\}$ istnieje półnorma $p\in {\mathcal {P}},$ że $p(x)\neq 0.$

Przykładem rozdzielającej rodziny półnorm w przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest rodzina funkcjonałów Minkowskiego

$\{\mu _{A}\colon \,U\in {\mathcal {B}}\},$

gdzie ${\mathcal {B}}$ jest bazą lokalną przestrzeni $X,$ złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

Twierdzenie o wprowadzaniu topologii

Niech ${\mathcal {P}}$ będzie rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni liniowej $X$ oraz

$U(p,n)=\{x\in X\colon \,p(x)<{\tfrac {1}{n}}\}$ dla $p\in P$ i $n\in \mathbb {N} ,$

${\mathcal {B}}={\big \{}\bigcap _{k=1}^{m}U(p_{k},n_{k})\colon \,p_{1},\dots ,p_{m}\in {\mathcal {P}},\,n_{1},\dots ,n_{m}\in \mathbb {N} ,\,m\in \mathbb {N} {\big \}},$

${\mathcal {B}}(x)=\{x+U\colon \,U\in {\mathcal {B}}\}$ dla $x\in X,$

${\mathcal {T}}={\big \{}\bigcup {\mathcal {R}}\colon \,{\mathcal {R}}\subseteq \bigcup _{x\in X}{\mathcal {B}}(x){\big \}}.$

Wówczas

• $(X,+,\cdot ,{\mathcal {T}})$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a ${\mathcal {B}}$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.
• Każda półnorma z rodziny ${\mathcal {P}}$ jest funkcją ciągłą.
• Zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej $p\in {\mathcal {P}}$ istnieje $M\in (0,\infty ),$ że dla każdego $x\in A$

$p(x)\leqslant M.$

• Ciąg $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ punktów przestrzeni $X$ jest zbieżny do punktu $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej półnormy $p\in {\mathcal {P}}$

$\lim _{n\to \infty }p(x_{n}-x)=0.$

Uwaga o przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie-wypukłych

Jeżeli $X$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a ${\mathcal {B}}$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych, to topologia otrzymana z powyższego twierdzenia dla rodziny półnorm

$\{\mu _{A}\colon \,U\in {\mathcal {B}}\}$

pokrywa się z wyjściową topologią przestrzeni $X.$

Metryzowalność topologii wprowadzonej przez rodzinę półnorm

Jeżeli ${\mathcal {P}}$ jest przeliczalną i rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni $X,$ a $(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest ciągiem wszystkich jej wyrazów oraz $(\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżnym do zera ciągiem liczb dodatnich, to funkcja $\varrho \colon X\times X\to [0,\infty )$ dana wzorem

$\varrho (x,y)=\max\{\varepsilon _{n}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}\colon \,n\in \mathbb {N} \}$

jest metryką w zbiorze $X$ wyznaczającą topologię otrzymaną z twierdzenia o wprowadzaniu topologii dla rodziny ${\mathcal {P}}.$ Ponadto $\varrho$ jest metryką niezmienniczą na przesunięcia, a każda kula o środku w zerze jest zbiorem zbalansowanym i wypukłym.

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Semi-norm, Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].