Podprzestrzeń liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowapodzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

Podzbiór przestrzeni liniowej nad ciałem jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich i spełnione są warunki:

  • ,
  • [1].

Z obu powyższych warunków wynika, że zbiór jest zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że jest podzbiorem

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

Przykłady[edytuj]

Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (płaszczyzny) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny.
  • W każdej przestrzeni liniowej zbiory oraz cała przestrzeń są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
  • W przestrzeni współrzędnych podzbiór złożony z wektorów postaci dla jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt
  • Podobnie w przestrzeni podzbiór złożony z wektorów postaci gdzie są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty i .
  • W przestrzeni liniowej wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi:
  • Jeżeli jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Działania[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniową.

  • Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni jest podprzestrzenią liniową[4]. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tego tej części wspólnej jako, że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.
  • Dla rodziny podprzestrzeni liniowych przestrzeni definiuje się ich sumę algebraiczną
Suma algebraiczna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni [5].
Dowód
Niech
Wówczas
oraz
dla pewnych . Oznacza to, że
Niech zaś będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora co wyżej uzyskuje się
Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę podprzestrzeni liniowych . Ich sumę algebraiczną definiuje się jako
Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.
Sumę algebraiczną nazywa się prostą, gdy dla ; stosuje się wówczas oznaczenie .

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni wraz z działaniami i tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraiczna[6].

Wymiar i kowymiar[edytuj]

 Zobacz też: wymiar.

Niech będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem ), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.

Niech i będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni . Między wymiarami przestrzeni i zachodzi związek

[7][8]

W szczególności

[9][8].

Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni , że

,

to

[10].

Niech oraz będą podprzestrzeniami . Kowymiarem podprzestrzeni w oznaczanym nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej Jeżeli jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorów[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem . Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru przestrzeni liniowej definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór , (inne symbole: ), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru , tj.

Zbiór jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ; jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa przestrzeni , która zawiera zbiór [2]. Zbiór nazywany jest zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń , a przestrzeń podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór bądź także otoczką liniową albo powłoką liniową zbioru .

Jeżeli zbiór generuje przestrzeń , to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń jest generowana przez samą siebie. Dla zbioru generującego przestrzeń następujące warunki są równoważne

  1. zbiór jest bazą przestrzeni ,
  2. zbiór jest liniowo niezależny,
  3. każdy wektor przestrzeni można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru [11].

Przykłady[edytuj]

  • Jeżeli i są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni , to
oraz
  • Podprzestrzeń przestrzeni generowana przez zbiór opisana jest w drugim z przykładów.

Przypisy

  1. Axler 1997 ↓, s. 13.
  2. a b Rutkowski 2006 ↓, s. 31.
  3. Rutkowski 2006 ↓, s. 233.
  4. Axler 1997 ↓, s. 17.
  5. Axler 1997 ↓, s. 14.
  6. Roman 2005 ↓, s. 39-40.
  7. Axler 1997 ↓, s. 33.
  8. a b Roman 2005 ↓, s. 50.
  9. Axler 1997 ↓, s. 36.
  10. Axler 1997 ↓, s. 34.
  11. Roman 2005 ↓, s. 46.

Bibliografia[edytuj]

  1. Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Wyd. 2. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 1997.
  2. Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Cz. 2: Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
  3. Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wyd. 5. PWN, 2006. ISBN 83-01-14388-6.
  4. Steven Roman: Advanced Linear Algebra. Wyd. 2. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, seria: Graduate Texts in Mathematics 135. ISBN 978-0-387-24766-3. (ang.)