Podprzestrzeń liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

Podzbiór przestrzeni liniowej nad ciałem jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich i spełnione są warunki:

  • ,
  • .

Z obu powyższych warunków wynika, że zbiór jest zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że jest podzbiorem

Odwrotnie, jeśli jest podprzestrzenią to sama jest przestrzenią liniową ze względu na działania indukowane z co oznacza, że powyższe dwa warunki są spełnione (zamkniętość wynika z definicji działania dwuargumentowego).

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

Przykłady[edytuj]

Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (płaszczyzny) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny.
  • W każdej przestrzeni liniowej zbiory oraz cała przestrzeń są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
  • W przestrzeni współrzędnych podzbiór złożony z wektorów postaci dla jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt
  • Podobnie w przestrzeni podzbiór złożony z wektorów postaci gdzie są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty i .
  • W przestrzeni liniowej wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na (rzeczywistym) przedziale można wyróżnić podprzestrzeń liniową wszystkich funkcji ograniczonych (zob. przestrzeń funkcyjna).
  • Jeżeli jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Kowymiar[edytuj]

 Zobacz też: wymiar.

Niech oraz będą podprzestrzeniami Kowymiarem podprzestrzeni w oznaczanym nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej Jeżeli jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

W analizie funkcjonalnej dużą uwagę poświęca się podprzestrzeniom przestrzeni funkcyjnych o kowymiarze 1.

Działania[edytuj]

Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych danej przestrzeni jest podprzestrzenią liniową, gdyż każda kombinacja liniowa elementów przekroju rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tego przekroju jako, że należy ona do każdej podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.

Zamiast nieprzydatnej tu sumy mnogościowej[1] wprowadza się dla podprzestrzeni i sumę algebraiczną zdefiniowaną następująco:

Suma algebraiczna dwóch podprzestrzeni oraz przestrzeni liniowej jest podprzestrzenią

Dowód
Niech Wówczas oraz dla pewnych i W ten sposób
Niech zaś jest skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora co wyżej uzyskuje się

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych danej przestrzeni liniowej wraz z działaniami i tworzy kratę modularną, która na ogół nie jest dystrybutywna.

Indukcyjnie definiuje się sumę podprzestrzeni przestrzeni

Między wymiarami przestrzeni i zachodzi związek

w szczególności

gdzie symbol oznacza sumę prostą podprzestrzeni i

Powłoka liniowa[edytuj]

Dla każdego (niekoniecznie skończonego) zbioru wektorów przestrzeni liniowej nad ciałem istnieje najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa zawierająca ten zbiór – jest nią część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających zbiór Podprzestrzeń tę nazywa się powłoką liniową, otoczką liniową lub domknięciem liniowym zbioru i oznacza się ją zwykle bądź lub . Sam zbiór nazywa się wówczas zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń , a przestrzeń podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór

Podprzestrzeń jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru tzn.

i czasami właśnie tak definiuje się powłokę liniową zbioru Z charakteryzacji tej wynika, że jeżeli i są podprzestrzeniami liniowymi, to

Jeżeli zbiór generuje przestrzeń to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń jest generowana przez samą siebie. Zbiór który generuje przestrzeń jest jej bazą wtedy i tylko wtedy, gdy jest on liniowo niezależny. Innymi słowy, zbiór który generuje przestrzeń jest bazą przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor przestrzeni można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru

Podprzestrzeń przestrzeni generowana przez zbiór opisana jest w drugim z przykładów.

Przypisy

  1. Suma mnogościowa dwóch (i więcej) podprzestrzeni liniowych nie jest na ogół podprzestrzenią – jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z sumowanych przestrzeni zawiera się w drugiej.

Bibliografia[edytuj]

  1. Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Cz. 2: Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.