Prosta Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Prosta Eulera

Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez:

Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Euler line.png

Niech będą obrazami punktów w jednokładności o skali i środku w punkcie

Wtedy

Czworokąt jest równoległobokiem, więc

Zatem

Środek ciężkości dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc

Ponieważ to bo są to kąty naprzemianległe.

Zatem jest obrazem w jednokładności o środku w i skali

Stąd otrzymujemy, że leżą na jednej prostej oraz

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]