Prosta Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Prosta Eulera

Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów.

Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Euler line.png

Niech będą obrazami punktów w jednokładności o skali i środku w punkcie

Wtedy

Czworokąt jest równoległobokiem, więc

Zatem

Środek ciężkości dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc

Ponieważ to bo są to kąty naprzemianległe.

Zatem jest obrazem w jednokładności o środku w i skali

Stąd otrzymujemy, że leżą na jednej prostej oraz

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]