Prosta Eulera

Prosta Eulera zaznaczona na czerwono. Niebieskie linie to wysokości, zielone to symetralne boków, a pomarańczowe to środkowe trójkąta

Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez:

• ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie),
• środek okręgu opisanego (linie zielone),
• środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe),
• środek okręgu dziewięciu punktów.

Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.

Dowód

Niech $A',\ B',\ H'$ będą obrazami punktów $A,\ B,\ H$ w jednokładności o skali ${\frac {1}{2}}$ i środku w punkcie $C.$

Wtedy $2\cdot A'H'=AH.$

Czworokąt $A'OB'H'$ jest równoległobokiem, więc $OB'=A'H'.$

Zatem $2\cdot OB'=AH.$

Środek ciężkości $G$ dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc $AG=2\cdot B'G.$

Ponieważ $OB'||AH,$ to $\angle OB'G=\angle HAG,$ bo są to kąty naprzemianległe.

Zatem $\Delta B'OG,$ jest obrazem $\Delta AHG$ w jednokładności o środku w $G$ i skali $-{\frac {1}{2}}.$

Stąd otrzymujemy, że $H,\ G,\ O$ leżą na jednej prostej oraz $HG=2\cdot GO.$

Linki zewnętrzne

• ChuongCh. Nguyen ChuongCh., HungH. Nguyen HungH., Pewne uogólnienie prostej Eulera, „Delta”, grudzień 2016, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-10-06] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Euler Line, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-06].
• Euler straight line (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-30].
• Wysokości trójkąta a prosta Eulera na cut-the-knot (ang.)
• Prosta Eulera a okrąg dziewięciu punktów na cut-the-knot (ang.)