Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny – trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość, szczególny przypadek trójkąta równoramiennego. Jest przykładem wielokąta foremnego.

Niech $a\,$ oznacza bok trójkąta równobocznego. Wówczas trójkąt ma następujące własności:

każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę:

\alpha ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }

;

obwód wynosi:

L=3a\,

;

wysokość ma długość:

h={\frac {a~{\sqrt {3}}}{2}}\approx 0,866~a

;

pole powierzchni jest równe:

S={\frac {a^{2}~{\sqrt {3}}}{4}}\approx 0,433~a^{2}

;

długość promienia okręgu wpisanego wynosi:

r={\frac {1}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}\approx 0,289~a

;

długość promienia okręgu opisanego wynosi:

R={\frac {2}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}\approx 0,577~a

;

jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi oraz dzielą się wzajemnie w stosunku 1 : 2;

Zależności liczbowe w trójkącie równobocznym[edytuj | edytuj kod]

Niech dodatkowo $L_{r},L_{R}$ oznaczają odpowiednio obwód okręgu wpisanego i opisanego, zaś $S_{r},S_{R}$ - odpowiednio pole koła wpisanego i opisanego.

$=\,$	$a\,$	$h\,$	$S\,$	$r\,$	$R\,$	$L_{r}\,$	$L_{R}\,$	$S_{r}\,$	$S_{R}\,$
$a\,$	$a\,$	${\frac {2h{\sqrt {3}}}{3}}$	$2{\sqrt {\frac {S{\sqrt {3}}}{3}}}$	$2r{\sqrt {3}}$	$R{\sqrt {3}}$	${\frac {L_{r}{\sqrt {3}}}{\pi }}$	${\frac {L_{R}{\sqrt {3}}}{2\pi }}$	$2{\sqrt {\frac {3S_{r}}{\pi }}}$	${\sqrt {\frac {3S_{R}}{\pi }}}$
$h\,$	${\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$	$h\,$	${\sqrt {S{\sqrt {3}}}}$	$3r\,$	${\frac {3}{2}}R$	${\frac {3L_{r}}{2\pi }}$	${\frac {3L_{R}}{4\pi }}$	$3{\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}$	${\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {S_{R}}{\pi }}}$
$S\,$	${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$	${\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}$	$S\,$	$3r^{2}{\sqrt {3}}$	${\frac {3R^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$	${\frac {3{L_{r}}^{2}{\sqrt {3}}}{4\pi ^{2}}}$	${\frac {3{L_{R}}^{2}{\sqrt {3}}}{16\pi ^{2}}}$	${\frac {3S_{r}{\sqrt {3}}}{\pi }}$	${\frac {3S_{R}{\sqrt {3}}}{4\pi }}$
$r\,$	${\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}$	${\frac {1}{3}}h$	${\frac {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}{3}}$	$r\,$	${\frac {1}{2}}R$	${\frac {L_{r}}{2\pi }}$	${\frac {L_{R}}{4\pi }}$	${\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}$	${\sqrt {\frac {S_{R}}{4\pi }}}$
$R\,$	${\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$	${\frac {2}{3}}h$	${\frac {2{\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}$	$2r\,$	$R\,$	${\frac {L_{r}}{\pi }}$	${\frac {L_{R}}{2\pi }}$	$2{\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}$	${\sqrt {\frac {S_{R}}{\pi }}}$
$L_{r}\,$	${\frac {\pi a{\sqrt {3}}}{3}}$	${\frac {2\pi h}{3}}$	${\frac {2\pi {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}$	$2\pi r\,$	$\pi R\,$	$L_{r}\,$	${\frac {L_{R}}{2}}$	$2{\sqrt {\pi S_{r}}}$	${\sqrt {\pi S_{R}}}$
$L_{R}\,$	${\frac {2\pi a{\sqrt {3}}}{3}}$	${\frac {4\pi h}{3}}$	${\frac {4\pi {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}$	$4\pi r\,$	$2\pi R\,$	$2L_{r}\,$	$L_{R}\,$	$4{\sqrt {\pi S_{r}}}$	$2{\sqrt {\pi S_{R}}}$
$S_{r}\,$	${\frac {\pi a^{2}}{12}}$	${\frac {\pi h^{2}}{9}}$	${\frac {\pi S{\sqrt {3}}}{9}}$	$\pi r^{2}\,$	${\frac {\pi R^{2}}{4}}$	${\frac {{L_{r}}^{2}}{4\pi }}$	${\frac {{L_{R}}^{2}}{16\pi }}$	$S_{r}\,$	${\frac {S_{R}}{4}}$
$S_{R}\,$	${\frac {\pi a^{2}}{3}}$	${\frac {4\pi h^{2}}{9}}$	${\frac {4\pi S{\sqrt {3}}}{9}}$	$4\pi r^{2}\,$	$\pi R^{2}\,$	${\frac {{L_{r}}^{2}}{\pi }}$	${\frac {{L_{R}}^{2}}{4\pi }}$	$4S_{r}\,$	$S_{R}\,$