Okrąg dziewięciu punktów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Feuerbach circle.svg

Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha[1] lub okrąg Eulera[2] jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są:

Historia odkrycia[edytuj]

W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach, którego nazwiskiem nazywa się czasem okrąg dziewięciu punktów, zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta - środki boków oraz spodki wysokości - leżą na wspólnym okręgu. Odkrycia tego dokonali wcześniej,w 1821 roku, Charles Brianchon i Jean-Victor Poncelet[3]. Jeszcze wcześniej, nad współokręgowością wspomnianych punktów zastanawiali się Benjamin Bevan (1804) i John Butterworth (1807)[3].

Krótko po Feuerbachu, matematyk Olry Terquem niezależnie udowodnił istnienie okręgu i jako pierwszy zauważył, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum. Terquem jako pierwszy użył również nazwy "okrąg dziewięciu punktów"[4].

Dowód[edytuj]

Feuerbach circle proof2.svg

W trójkącie przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku obok:

  • to odpowiednio spodki wysokości opuszczonych z wierzchołków ,
    • to ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości w trójkącie,
  • to punkty połowiące odcinki ,
  • to punkty połowiące boki trójkąta: .

Rozważmy trójkąt i okrąg na nim opisany. Zauważmy, że kąt jest prosty, jako że jest wysokością trójkąta . Oznacza to, że odcinek jest średnicą okręgu opisanego na .

Z definicji punktów oraz zachodzi

,

co oznacza, dzięki twierdzeniu twierdzeniu odwrotnemu do twierdzenia Talesa, że

, a zatem i
.

Analogicznie, ponieważ

,

więc

.

Ale , a co za tym idzie

,

co oznacza, że trójkąt także jest prosty, a więc punkty leżą na jednym okręgu.

Podobnie pokazujemy, że oraz , a korzystając z tego, że otrzymujemy, że trójkąt także jest prostokątny, co oznacza, że punkty leżą na wspólnym okręgu.

Konstrukcję powtarzamy rozpoczynając od punktów i , a następnie od i . W ich wyniku otrzymujemy, że każda z piątek punktów

  • ,
  • oraz

jest współokręgowa. Ale na trzech (wspólnych dla piątek) punktach można opisać tylko jeden okrąg, co oznacza, że dziewięć punktów

leży na wspólnym okręgu.

Własności[edytuj]

Styczność okręgu dziewięciu punktów z okręgiem wpisanym i okręgami dopisanymi

Twierdzenie Feuerbacha[edytuj]

Karl Wilhelm Feuerbach udowodnił, że w dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych[5]. Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem Feuerbacha[6].

Inne własności[edytuj]

  • Środek okręgu dziewięciu punktów leży na tzw. prostej Eulera, dokładnie w połowie odcinka pomiędzy ortocentrum tego trójkąta a środkiem okręgu na nim opisanego[7].
Okrąg dziewięciu punktów ma dwukrotnie mniejszy promień, niż okrąg opisany na trójkącie. Porównując trójkąty i łatwo zauważyć, że środek każdego odcinka łączącego ortocentrum z dowolnym punktem na okręgu opisanym leży na okręgu dziewięciu punktów.
  • Promień okręgu opisanego na trójkącie jest dwukrotnie większy od promienia okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta[8]. Wynika to z faktu, że trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta wyjściowego jest od niego dwukrotnie mniejszy.
  • Okrąg dziewięciu punktów połowi każdy odcinek łączący ortocentrum tego trójkąta z dowolnym punktem na okręgu opisanym.
  • Każdy z trzech środków odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum jest obrazem środków boków trójkąta w symetrii względem środka okręgu dziewięciu punktów.
  • Środki wszystkich hiperbol prostokątnych (tj. hiperbol o asymptotach przecinających się pod kątem prostym), które przechodzą przez wierzchołki trójkąta, leżą na okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta[9]. Jest to fakt znany jako twierdzenie stożkowe Feuerbacha.
  • Przy oznaczeniach jak wyżej, wszystkie trójkąty o wierzchołkach wybranych z punktów będą miały ten sam okrąg dziewięciu punktów. Jest to prawdziwe dla dowolnego układu ortocentrycznego punktów [10][11].
    • Wynika to z prostej symetrii: w trójkącie okrąg dziewięciu punktów musi przechodzić przez środki boków oraz . Ale są to również te same punkty (środek jednego boku i środki dwóch odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum), przez które musi przechodzi okrąg dziewięciu punktów w trójkącie .
    • Wynika z tego od razu, że okręgi opisane na wszystkich czterech trójkątach układu mają ten sam promień.
  • Środek okręgu dziewięciu punktów jest centroidem czterech punktów: wierzchołków trójkąta oraz jego ortocentrum.
  • W trójkącie środki okręgów: wpisanego i dopisanych tworzą układ ortocentryczny. Okrąg dziewięciu punktów tego układu jest zarazem okręgiem opisanym na trójkącie wyjściowym[12]. Spodki wysokości w układzie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.
Okręgi dziewięciu punktów dla nieortocentrycznego układu punktów . Na różowo zaznaczono krzywą, przechodzącą przez środki boków trójkątów (na jasnozielono) oraz przez przecięcie wszystkich okręgów (na czerwono), o środku w centroidzie czworokąta (na niebiesko). Na zielono zaznaczono hiperbolę Kieperta, przechodzącą przez cztery punkty wyjściowe punkty, jak i przez ortocentra trójkątów z tych punktów utworzonych, o środku w punkcie przecięcia się okręgów. Animacja pokazuje, co dzieje się, gdy układ punktów staje się ortocentryczny.
  • Jeśli dane są cztery punkty , które nie tworzą układu ortocentrycznego, to wtedy cztery okręgi dziewięciu punktów trójkątów i przecinają się w jednym punkcie. Sześć pozostałych punktów przecięć czterech okręgów pokrywa się ze środkami boków trójkątów.
    • Ponadto istnieje dokładnie jedna stożkowa, o środku w centroidzie czterech punktów , która przechodzi przez wszystkie siedem punktów przecięć czterech okręgów dziewięciu punktów.
    • Co więcej, na podstawie stożkowego twierdzenia Feuerbacha istnieje dokładnie jedna krzywa stożkowa prostokątna, zwana hiperbolą Kieperta o środku w przecięciu czterech okręgów dziewięciu punktów, która przechodzi przez wszystkie cztery punkty , jak i również przez ortocentra czterech powyższych trójkątów[9].
Na rysunku: okręgi dziewięciu punktów dla trójkątów i , okrąg do nich przystający o środku w antycentrum czworoktąta (na czerwono) oraz leżący na tym okręgu obraz czworokąta w jednokładności względem punktu (na fioletowo).
  • Jeśli cztery punkty tworzą czworokąt, który da się wpisać w okrąg, to okręgi dziewięciu punktów trójkątów i przecinają się w punkcie zwanym antycentrum tego czworokąta[13][14].
    • Jako że okrąg, w który wpisany jest czworokąt jest również okręgiem opisanym na każdym z trójkątów powyżej, każdy z okręgów dziewięciu punktów tych trójkątów będzie miał taki sam promień, wynoszący połowę długości promienia okręgu opisanego.
    • Okręgi dziewięciu punktów są zbiorem tzw. okręgów Johnsona. Środki tych okręgów są współokręgowe i leżą na okręgu o takim samym promieniu, jak okręgi dziewięciu punktów, o środku w antycentrum czworokąta wpisanego. Co więcej, czworokąt utworzony ze środków czterech okręgów dziewięciu punktów jest obrazem wyjściowego czworokąta w jednokładności o skali i środku w punkcie , dzielącym odcinek pomiędzy środkiem okręgu opisanego i antycentrum tak, aby ()[15].
  • Współrzędne trójliniowe środka okręgu dziewięciu punktów to [16]
  • Współrzędne trójliniowe punktu Feuerbacha to [6]
  • Współrzędne trójliniowe środka hiperboli Kieperta to [17]

Uogólnienia[edytuj]

Okrąg dziewięciu punktów jest krzywą stożkową przechodzącą przez dziewięć punktów trójkąta: środki boków, połowy odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum oraz spodki wysokości. Jeśli zamiast spodków wysokości trójkąta wziąć spodki dowolnych trzech, wychodzących z wierzchołków, przecinających się w jednym punkcie odcinków, to okaże się, że przez te punkty przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa zwana krzywą dziewięciu punktów[18].

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  • H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
  • Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Soluton. David Antin (tłum.). Nowy York: Dover, 1965.
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry (dawn. Modern Geometry). Nowy York: Dover, 1960.
  • Lev Kurlyandchik: Kącik olimpijski, część I. Geometria. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat. ISBN 978-83-87329-82-7.
  • J.S MacKay. History of the Nine Point Circle.. „Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society”, s. 19-61, 1892. 
  • Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
  • David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.
  • Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
  • S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.

Linki zewnętrzne[edytuj]