Jednokładność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Obraz trójkąta w jednokładności
o środku i skali 5/3

Jednokładność, homotetia (gr. homo+thetos=położony) o środku i niezerowej skali odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni, określone następująco:

Z definicji w szczególności wynika, że:

Liczba nazywana jest także stosunkiem jednokładności.

Dla jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla jednokładność jest symetrią środkową o środku . Każda jednokładność jest podobieństwem o skali . Dwie figury i są jednokładne, gdy istnieje punkt i niezerowa skala takie, że jednokładność przekształca figurę na figurę .

Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności.

Zbiór jednokładności o wspólnym środku jest grupą, przy tym

  • złożenie jednokładności jest jednokładnością
  • jednokładnością odwrotną do jest
  • jednością grupy jest tożsamość

W przypadku złożenia dwóch jednokładności o dowolnych środkach zachodzą dwie możliwości:

  • jeśli , to jest translacją tzn. translacją o wektor .
  • jeśli , to jest jednokładnością .

Ponadto dla jednokładności i translacji o wektor zachodzi:

  • złożenie jest jednokładnością
  • złożenie jest jednokładnością

Oznacza to, że zbiór jednokładności wraz ze zbiorem translacji tworzy grupę przekształceń geometrycznych. Jest ona izomorficzna z grupą dylatacji.