Przestrzeń cs

Przestrzeń cs (albo przestrzeń ciągów sumowalnych) – przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych $(a_{n})_{n}$ o tej własności, że szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }~a_{n}$

jest zbieżny. W przestrzeni $cs$ można wprowadzić w naturalny sposób normę wzorem

$\|(a_{n})_{n}\|=\sup _{n\in \mathbb {N} }\left|\sum _{k=n}^{\infty }~a_{k}\right|.$

Przestrzeń cs z wyżej zdefiniowaną normą jest przestrzenią Banacha, która nie jest refleksywna. Można udowodnić, że przestrzenią sprzężoną do cs jest przestrzeń bv, tj. przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych o wahaniu ograniczonym, tj. wszystkich takich ciągów $(b_{n})_{n},$ że

$\|(b_{n})_{n}\|=|b_{1}|+\sum _{k=1}^{\infty }|b_{k+1}-b_{k}|<\infty .$

Przestrzeń cs jest izomorficzna z przestrzenią $c_{0}$, tj. przestrzenią wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do zera. Konstrukcja przestrzeni cs pochodzi od Eduarda Helly’ego.