Przestrzeń może być w naturalny sposób utożsamiona z podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów ograniczonych ℓ∞, a także z przestrzenią funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na zbiorze liczb naturalnych z topologią dyskretną.
Przestrzeń ta ma bazę Schaudera. Rodzina ciągów które na -tym miejscu mają jedynkę, a poza tym są równe zeru jest bezwarunkową bazą Schaudera tej przestrzeni. Baza ta nazywana jest kanoniczną bazą w przestrzeni
Dowód. Niech oraz dla każdego niech Mamy
ponieważ ciąg jest zbieżny do 0. Oznacza to, że
Ponieważ powyższe przedstawienie jest jednoznaczne jest istotnie bazą Schaudera w Bezwarunkowość tej bazy wynika z następującej obserwacji. Dla każdego ciągu skalarów spełniających warunek dla każdego zachodzi
Oznacza to, że jest bezwarunkową bazą Schaudera ze stałą 1.
Każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni zawiera podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią
Twierdzenie Sobczyka mówi, że każda podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni Banacha która jest izomorficzna z jest komplementarna w tj. istnieje ograniczony rzut z na tę podprzestrzeń. Z drugiej strony, żadna podprzestrzeń izomorficzna z przestrzeni nie jest komplementarna.
Przestrzeń jest izomorficzna z przestrzenią wszystkich ciągów zbieżnych poprzez izomorfizm dany wzorem Przestrzeń jest izomorficzna również z przestrzenią cs szeregów sumowalnych.
Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ograniczone operatory liniowe są we wzajemnej odpowiedniości z ciągiami w przestrzeni sprzężonej które są *-słabo zbieżne do 0. Istotnie, jeżeli jest ograniczonym operatorem liniowym, to ciąg w jest *-słabo zbieżny do 0, przy czym oznacza kanoniczną bazę utożsamioną z przestrzenią sprzężoną do Z drugiej strony, jeżeli jest ciągiem *-słabo zbieżnym do 0, to operator dany wzorem gdzie jest liniowy i ograniczony.
Przestrzeń nie jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną do żadnej przestrzeni Banacha.
Dowód. Przestrzeń Banacha która jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią pewnej przestrzeni sprzężonej jest komplementarna w gdzie utożsamia się z kanonicznym włożeniem w Gdyby zatem przestrzeń była izomorficzna z pewną przestrzenią sprzężoną przeczyłoby to twierdzeniu Phillipsa-Sobczyka[1][2] mówiącemu, że nie jest komplementarne w
Jeżeli przestrzeń jest izomorficzna z podprzestrzenią dla pewnej przestrzeni to zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią ℓ1. W szczególności, zawiera podprzestrzeń izomorficzną z
Szkic dowodu. Niech będzie izomorfizmem. Wówczas operator sprzężony jest suriektywny. Niech ponadto oraz niech oznacza bazę kanoniczną w obrazie operatora Zachodzi więc
Stąd
Z suriektywności operatora wynika, że istnieje oraz ciąg funkcjonałów w o tej własności, że
przy czym funkcjonały wyznaczają tutaj pewne *-słabe otoczenie Zachodzi również
Wynika stąd, że pierwszych -1 współrzędnych jest małych w porównaniu do -tej współrzędnej. Z ciągu można więc wybrać podciąg równoważny bazie przestrzeni ℓ1, który generuje podprzestrzeń komplementarną i izomorficzną z Niech oznacza rzutowanie na podprzestrzeń generowaną przez w Wybierając ewentualnie podciąg, można dobrać taką stałą że
Oznacza to, że operator zacieśniony do podprzestrzeni generowanej przez jest odwracalny oraz operator jest rzutowaniem na podprzestrzeń w izomorficzną z co kończy dowód.