Przestrzeń c0

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń c0przestrzeń Banacha wszystkich ciągów liczbowych (ξk) zbieżnych do 0 z normą supremum, to znaczy

Przestrzeń c0 może być w naturalny sposób utożsamiona z podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów ograniczonych a także z przestrzenią funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na zbiorze liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń c0 jest ośrodkową przestrzenią Banacha.
  • Przestrzeń ta ma bazę Schaudera. Rodzina ciągów (en), które na n-tym miejscu mają jedynkę, a poza tym są równe zeru jest bezwarunkową bazą Schaudera tej przestrzeni. Baza ta nazywana jest kanoniczną bazą w przestrzeni c0.
Dowód. Niech x = (ξk) ∈ c0 oraz dla każdego n niech Sn = ξ1e1 + ... + ξnen. Mamy
ponieważ ciąg (ξk) jest zbieżny do 0. Oznacza to, że
Ponieważ powyższe przedstawienie jest jednoznaczne, (en) jest istotnie bazą Schaudera w c0. Bezwarunkowość tej bazy wynika z następującej obserwacji. Dla każdego ciągu skalarów (εk) spełniających warunek |εk| = 1 dla każdego k zachodzi
.
Oznacza to, że (en) jest bezwarunkową bazą Schaudera ze stałą 1.
  • Domknięta kula jednostkowa przestrzeni c0 nie zawiera punktów ekstremalnych. Z twierdzenia Krejna-Milmana wynika, że c0 nie jest izometryczna z żadną przestrzenią sprzężoną. W szczególności, przestrzeń c0 nie jest refleksywna.
  • Indeks Szlenka przestrzeni c0 wynosi ω.
  • Każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni c0 zawiera podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią c0.
  • Twierdzenie Sobczyka mówi, że każda podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni Banacha X, która jest izomorficzna z c0 jest komplementarna w X, tj. istnieje ograniczony rzut z X na tę podprzestrzeń. Z drugiej strony, żadna podprzestrzeń izomorficzna z c0 przestrzeni nie jest komplementarna.
  • Przestrzeń c0 jest izomorficzna z przestrzenią c wszystkich ciągów zbieżnych poprzez izomorfizm T: cc0 dany wzorem T(a) = a - lim a. Przestrzeń c0 jest izomorficzna również z przestrzenią cs szeregów sumowalnych.

Dualność[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni c0 utożsamia się w sposób izometryczny z przestrzenią 1. Dualność ta wyznaczona jest przez związek
Dowód. Ciąg (un) elementów przestrzeni c0 danych wzorami
jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla każego ciągu y = (yn) ∈ 1 granica lim ‹ un, y › istnieje i równa się Σn yn. Ciąg (un) nie jest jednak słabo zbieżny.

Operatory o wartościach w c0[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ograniczone operatory liniowe T: Xc0 są we wzazjemnej odpowiedniości z ciągiami (fn) w przestrzeni sprzężonej X*, które są *-słabo zbieżne do 0. Istotnie, jeżeli T: Xc0 jest ograniczonym operatorem liniowym, to ciąg (T* en*) w X* jest *-słabo zbieżny do 0, przy czym (en*) oznacza kanoniczną bazę 1 utożsamioną z przestrzenią sprzężoną do c0. Z drugiej strony, jeżeli (fn) jest ciągiem *-słabo zbieżnym do 0, to operator T: Xc0 dany wzorem Tx = ‹ x, fn ›, gdzie xX, jest liniowy i ograniczony.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego zbioru Γ można zdefiniować przestrzeń

wyposażona w normę supremum jest przestrzenią Banacha. Dla dowolnego zbioru Γ przestrzeń ta jest typu WCG oraz

Gdy zbiór Γ jest przeliczalny przestrzeń ta jest izometrycznie izomorficzna z klasyczną przestrzenią c0.

Przestrzeń c0 a przestrzenie sprzężone[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń c0 nie jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną do żadnej przestrzeni Banacha.

Dowód. Przestrzeń Banacha E, która jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią pewnej przestrzeni sprzężonej F* jest komplementarna w E**, gdzie E utożsamia się z kanonicznym włożeniem w E**. Gdyby zatem przestrzeń c0 była izomorficzna z pewną przestrzenią sprzężoną F*, przeczyłoby to twierdzeniu Phillipsa-Sobczyka[1][2] mówiącemu, że c0 nie jest komplementarne w c0** ≅ .

Bessaga i Pełczyński udowodnili w 1958[3] następujące twierdzenie mówiące, że

Jeżeli przestrzeń c0 jest izomorficzna z podprzestrzenią Y* dla pewnej przestrzeni Y, to Y zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią ℓ1. W szczególności, Y* zawiera podprzestrzeń izomorficzną z ℓ.

Szkic dowodu. Niech T: c0Y* będzie izomorfizmem. Wówczas operator sprzężony T*: Y** → ℓ1 jest suriektywny. Niech ponadto S = T*|Y oraz niech (en) oznacza bazę kanoniczną w obrazie operatora T. Zachodzi więc

Stąd
Z suriektywności operatora T* wynika, że istnieje K > 0 oraz ciąg funkcjonałów (yn**) w Y** o tej własności, że
gdzie (en) oznacza bazę kanoniczną w 1. Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że zbiór K· BY jest *-słabo gęsty w K· BY**, a więc istnieje taki ciąg (yn) w Y, że
oraz
przy czym funkcjonały Te1, ..., Ten wyznaczają tutaj pewne *-słabe otoczenie yn**. Zachodzi również
Wynika stąd, że pierwszych n-1 współrzędnych Syn jest małych w porównaniu do n-tej współrzędnej. Z ciągu Syn można więc wybrać podciąg równoważny bazie przestrzeni ℓ1, który generuje podprzestrzeń komplementarną i izomorficzną z 1. Niech P oznacza rzutowanie na podprzestrzeń generowaną przez Syn w ℓ1. Wybierając ewentualnie podciąg, można dobrać taką stałą M > 0, że
Oznacza to, że operator S zacieśniony do podprzestrzeni generowanej przez (yn) jest odwracalny oraz operator Q = S-1PS jest rzutowaniem na podprzestrzeń w Y izomorficzną z 1, co kończy dowód.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. R.S. Phillips, On linear transformations, Trans. Amer. Math. Soc., 48 (1940), 516–541.
  2. A. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c0, Bull. Amer. Math. Soc., 47 (1941), 938–947.
  3. C. Bessaga and A. Pełczyński, On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces, Studia Math. 17 (1958), 151–164

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]