Przestrzeń refleksywna

Przestrzeń refleksywna – przestrzeń unormowana $X,$ o tej własności, że kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną

$\kappa _{X}\colon X\longrightarrow X^{**}$

dane wzorem

$\langle \kappa _{X}(x),f\rangle =\langle f,x\rangle \quad (x\in X,f\in X^{*}),$

jest suriektywne (a zatem z izometryczności, jest ono wówczas izometrycznym izomorfizmem).

Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.

Przykłady

• Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna, co wynika z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału (zob. dowód).
• Dla każdego $1<p<\infty$ i dowolnej miary $\mu$ przestrzeń L_p(μ) jest refleksywna.
• Przestrzeń Tsirelsona jest refleksywna.
• Istnieją przestrzenie unormowane liniowo izometryczne ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, które nie są refleksywne – historycznie pierwszym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń Jamesa $J$ (przestrzeń ilorazowa $J^{**}/J$ jest jednowymiarowa).

Własności

• Przestrzenie refleksywne są zupełne (są przestrzeniami Banacha), twierdzenie to wynika z twierdzenia Banacha-Steinhausa.
• W przestrzeni refleksywnej każdy zbiór domknięty, ograniczony i wypukły jest słabo zwarty, tzn. przestrzenie refleksywne ze słabą topologią mają własność Heinego-Borela. Prawdziwe jest także twierdzenie ogólniejsze, mówiące, że przestrzeń unormowana jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej domknięta kula jednostkowa jest słabo zwarta (dowód tego faktu wykorzystuje twierdzenie Goldstine’a).
• Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni refleksywnej jest refleksywna. Ponadto, przestrzeń jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej ośrodkowa domknięta podprzestrzeń jest refleksywna.
• Przestrzeń Banacha $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy $X^{*}$ jest refleksywna. Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.
• Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią refleksywną jest przestrzenią refleksywną.
• Używając twierdzenia Eberleina-Szmuljana, można wykazać, że w przestrzeni refleksywnej każdy ograniczony ciąg jej punktów ma podciąg słabo zbieżny.
• Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna, lecz nie odwrotnie – przykładem jest przestrzeń ℓ₁.

Twierdzenie Jamesa

Twierdzenie Jamesa mówi, że przestrzeń Banacha $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony funkcjonał liniowy na $X$ osiąga swoją normę na (domkniętej) kuli jednostkowej, tj. istnieje taki element $x\in X$ o normie 1, że

$\|f\|=\langle f,x\rangle .$

Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.

Twierdzenie Milmana-Pettisa

Twierdzenie Milmana-Pettisa mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, przestrzenie L^p(μ) dla $p\in (1,\infty )$ są refleksywne).

Twierdzenie Phillipsa

Przestrzeń $X$ nazywa się:

• gładką, gdy dla każdego takiego elementu $x$ przestrzeni $X,$ że $\|x\|=1$ istnieje dokładnie jeden taki element $x^{*}$ przestrzeni $X^{*},$ że $\|x^{*}\|=1$ oraz $\langle x^{*},x\rangle =1.$
• silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie $x\to x^{*}$ takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w $X^{*}.$

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej $X^{*}$ (a więc w konsekwencji przestrzeni $X$) a jej własnością Radona–Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

$X^{*}$ jest refleksywna jeśli:	$X^{*}$ ma własność Radona–Nikodýma jeśli:
$X^{****}$ jest ściśle wypukła
$X^{***}$ jest gładka (ang. smooth)	$X^{***}$ jest ściśle wypukła.
$X^{**}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła	$X^{**}$ jest gładka
$X^{*}$ jest silnie gładka (ang. very smooth)	$X^{*}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła
$X$ jest jednostajnie wypukła	$X^{*}$ jest silnie gładka

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera:

Jeśli $X^{***}$ jest silnie wypukła oraz $X^{*}$ zawiera właściwą podprzestrzeń liniową $Y$ dla której odwzorowanie kanoniczne $X\to Y^{*}$ jest izometrią, to $X$ jest przestrzenią refleksywną.

Bibliografia

• John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
• Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.brak strony w książce
• Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.brak strony w książce
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce
• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.brak strony w książce