Przestrzeń refleksywna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń refleksywnaprzestrzeń unormowana X, o tej własności, że kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną

dane wzorem

jest suriektywne (a zatem z izometryczności, jest ono wówczas izometrycznym izomorfizmem).

Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.

Przykłady[edytuj]

Własności[edytuj]

Twierdzenie Jamesa[edytuj]

 Osobny artykuł: twierdzenie Jamesa.

Twierdzenie Jamesa mówi, że przestrzeń Banacha X jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony funkcjonał liniowy na X osiąga swoją normę na (domkniętej) kuli jednostkowej[5] , tj. istnieje taki element xX o normie 1, że

Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.

Twierdzenie Milmana-Pettisa[edytuj]

 Osobny artykuł: twierdzenie Milmana-Pettisa.

Twierdzenie Milmana-Pettisa mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, przestrzenie Lp(μ) dla p ∈ (1, ∞) są refleksywne).

Twierdzenie Phillipsa[edytuj]

Przestrzeń X nazywa się:

  • gładką, gdy dla każdego takiego elementu x przestrzeni X, że ||x|| = 1 istnieje dokładnie jeden taki element x* przestrzeni X*, że ||x*|| = 1 oraz ‹ x*, x › = 1.
  • silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie xx* takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w X*.

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej X* (a więc w konsekwencji przestrzeni X) a jej własnością Radona–Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

X* jest refleksywna jeśli: X* ma własność Radona–Nikodýma jeśli:
X**** jest ściśle wypukła
X*** jest gładka (ang. smooth) X*** jest ściśle wypukła.
X** jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła X** jest gładka
X* jest silnie gładka (ang. very smooth) X* jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła[6]
X jest jednostajnie wypukła X* jest silnie gładka

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera[7]:

Jeśli X*** jest silnie wypukła oraz X* zawiera właściwą podprzestrzeń liniową Y dla której odwzorowanie kanoniczne XY* jest izometrią, to X jest przestrzenią refleksywną.

Przypisy

  1. Morrison 2001 ↓, s. 75.
  2. Megginson 1998 ↓, s. 246-247.
  3. a b Morrison 2001 ↓, s. 136.
  4. a b Megginson 1998 ↓, s. 251.
  5. Megginson 1998 ↓, s. 262-263.
  6. J. Diestel, B. Faires, On vector measures, Trans. Amer. Math. Soc. 198 (1974), 253-271
  7. I. Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 166-168

Bibliografia[edytuj]

  1. John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0387972455.
  2. Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
  3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  4. Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001.
  5. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
  6. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.