Przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym

W analizie funkcjonalnej (gałąź matematyki) przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym (ang. Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS) jest przestrzenią Hilberta ${\mathcal {H}}$ z iloczynem skalarnym $\langle -,\cdot \rangle$ funkcji określonych na zbiorze U o wartościach w ciele $F$ liczb rzeczywistych lub zespolonych, w której wszystkie funkcjonały ewaluacji, tzn. funkcjonały

$E_{x}\colon U\ni x\mapsto f(x)\in F$

są ciągłe, tzn. dla każdego $x\in U$ istnieje taka stała $C_{x},$ że

$|f(x)|\leqslant C_{x}||f||=C_{x}{\sqrt {\langle {\overline {f}},f\rangle }},$

gdzie stała $C_{x}$ nie zależy of wyboru funkcji $f.$

Z grubsza oznacza to, że jeśli dwie funkcje $f$ oraz $g$ w przestrzeni Hilberta „leżą blisko siebie” w normie, tzn. $\|f-g\|$ jest małe, to $f$ oraz $g$ są również „punktowo bliskie”, tj. $|f(x)-g(x)|$ jest małe. Odwrotność nie musi być prawdziwa.

Jeśli funkcjonały ewaluacji są ciągłe, to na mocy Twierdzenia Riesza dla każdego $E_{x}$ istnieje takie ${\overline {e_{x}}}\in {\mathcal {H}},$ że

$\langle {\overline {e_{x}}}|f\rangle =f(x)$

dla każdej funkcji $f\in {\mathcal {H}}.$

Funkcję $K\colon U\times U\to F$ określoną w następujący sposób:

$K(x,y):=e_{x}(y)$

nazywamy jądrem reprodukującym przestrzeni ${\mathcal {H}}.$ Funkcja ta posiada własność reprodukowania, tzn. zachodzi

$\langle {\overline {K(x,\cdot )}},f(\cdot )\rangle =f(x)$

dla każdych $f\in {\mathcal {H}},x\in U$.

Jeśli przestrzeń Hilberta funkcji posiada jądro reprodukujące, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Ponadto każda skończeniewymiarowa przestrzeń Hilberta funkcji jest przestrzenią Hilberta z jądrem reprodukującym. Istotnie, każdy operator liniowy z przestrzeni unormowanej skończonego wymiaru w przestrzeń unormowaną skończonego wymiaru jest ciągły, a zatem w szczególności ciągłe są również wszystkie funkcjonały ewaluacji.

Żeby w ogóle pojęcie funkcjonału ewaluacji było dobrze określone, musimy mieć do czynienia z przestrzenią Hilberta funkcji. W szczególności przestrzeń $L^{2}(U)$ nie jest przestrzenią funkcji, lecz klas, gdzie dwie funkcje należą do jednej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się na zbiorze miary Lebesgue’a równej zero, z czego wynika w szczególności, że pojęcie wartości dla elementu $f\in L^{2}(U)$ w punkcie $x\in U$ nie ma sensu.

Przykłady

Przestrzeń Hilberta $\mathbb {R} ^{n}$ lub $\mathbb {C} ^{n}$ z naturalnym iloczynem skalarnym

$\langle v|w\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {v_{i}}}w_{i}$

dla $v=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}),w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})$

może być traktowana jako przestrzeń Hilberta funkcji określonych na zbiorze $\{1,2,\dots ,n\}$ o wartościach w $\mathbb {R}$ lub $\mathbb {C}$ odpowiednio. Przestrzeń taka wyposażona jest w jądro reprodukujące

$K(x,y)=\delta _{x}(y),$

gdzie:

$\delta _{x}(y)=\left\{{\begin{array}{c}1,&x=y\\0,&x\neq y\end{array}}\right..$

Innym przykładem przestrzeni Hilberta z jądrem reprodukującym jest przestrzeń $L^{2}H(U)$ składająca się z funkcji holomorficznych i całkowalnych z kwadratem w sensie miary Lebesgue’a na obszarze $U\subset \mathbb {C} ^{n}.$ Jądro reprodukujące takiej przestrzeni nazywa się jądrem Bergmana. Jeśli $U$ jest kołem o środku w zerze i promieniu 1 w $\mathbb {C} ,$ to jądro Bergmana przestrzeni $L^{2}H(U)$ wyraża się wzorem

$K(x,y)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-x{\overline {y}})^{2}}}$.

Opisano także przykłady przestrzeni Hilberta funkcji, które nie posiadają jądra reprodukującego, tj. takich przestrzeni Hilberta, dla których funkcjonały ewaluacji nie są ciągłe.