Przestrzeń Jamesa

Przestrzeń Jamesa – pierwszy przykład przestrzeni Banacha, która jest izomorficzna ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, ale nie jest refleksywna.

Konstrukcja

Niech $J$ będzie przestrzenią liniową wszystkich ciągów liczb rzeczywistych $x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ dla których

1. $\lim _{n\to \infty }x_{n}=0.$
2. $\|x\|=\sup {\Big \{}{\Big (}\sum _{i=1}^{n}(x_{m_{2i-1}}-x_{m_{2i}})^{2}{\Big )}^{\tfrac {1}{2}}\colon \,0=m_{0}<m_{1}<\ldots <m_{n+1}{\Big \}}<\infty .$

Funkcjonał $\|\cdot \|$ zdefiniowany wyżej jest normą w $J.$ Przestrzeń $J$ wraz z tą normą jest przestrzenią Banacha, nazywaną przestrzenią Jamesa.

Konstrukcję przestrzeni Jamesa można uogólnić na dowolne wykładniki $1\leqslant p<\infty ,$ zastępując warunek 2. powyżej warunkiem wraz z normą

$\|x\|_{p}=\sup {\Big \{}{\Big (}\sum _{i=1}^{n}|x_{m_{2i-1}}-x_{m_{2i}}|^{p}{\Big )}^{\tfrac {1}{p}}\colon \,0=m_{0}<m_{1}<\ldots <m_{n+1}{\Big \}}<\infty .$

Przestrzeń taką oznacza się symbolem $J_{p}$ i nazywa p-tą przestrzenią Jamesa. Zdefiniowana wcześniej przestrzeń Jamesa jest przy tych oznaczeniach przestrzenią $J_{2}.$ Przypadek $p=1$ zwykle wyklucza się, gdyż przestrzeń $J_{1}$ jest izomorficzna z przestrzenią ℓ₁.

Podstawowe własności

Poniżej $1<p<\infty .$

• Przestrzeń $J_{p},$ jest ośrodkowa, rodzina ciągów $(e_{n})$ które na $n$-tym miejscu mają wartość 1, a poza tym wszystkie inne wyrazy są równe zeru, jest jej bazą Schaudera. Przestrzeń Jamesa nie ma bezwarunkowej bazy Schaudera.
• Przestrzeń $J_{p}$ jest quasi-refleksywna rzędu 1, tzn. wymiar $J_{p}^{**}/J_{p}$ jest równy 1.
• Suma prosta $J_{p}\oplus J_{p}$ nie jest izomorficzna z $J_{p}.$
• Przestrzeń Jamesa ma słabą własność Banacha-Saksa.

Bibliografia

• H. Fetter, B.G. de Buen, The James Forest, London Math. Soc. Lecture Note Series 236. (1997), Cambridge University Press, Cambridge.