Funkcja q-wykładnicza

Funkcja $q$-wykładnicza – $q$-analog funkcji wykładniczej.

Definicja

Funkcję $q$-wykładniczą lub $q$-eksponentę $e_{q}(z)$ definiuje się jako

$e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\dots (1-q)}},$

gdzie $[n]_{q}!$ oznacza $q$-silnię, a

$(q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\dots (1-q)$

to symbol $q$-Pochhammera. To, że jest to $q$-analog funkcji wykładniczej wynika z własności

$\left({\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z),$

gdzie pochodna po lewej oznacza $q$-pochodną. Powyższą własność łatwo sprawdzić rozważając $q$-pochodną jednomianu:

$\left({\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}.$

Symbol $[n]_{q}$ oznacza $q$-nawias.

Własności

Dla rzeczywistych $q>1$ funkcja $e_{q}(z)$ jest funkcją całkowitą zmiennej $z.$ Dla $q<1$ funkcja $e_{q}(z)$ jest regularna w kuli $|z|<{\tfrac {1}{1-q}}.$

Związki

Dla $q<1$ w bliskim związku z funkcją $q$-wykładniczą jest funkcja $E_{q}(t)$ niespełniająca tożsamości

$e_{q}(z)=E_{q}(z(1-q)).$

Funkcja ta jest przypadkiem szczególnym podstawowego szeregu hipergeometrycznego:

$E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{0}(0;q,z)=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}z}}.$