q-analog

$q$-analog – twierdzenie bądź tożsamość zawierająca zmienną $q,$ które dają dobrze znany wynik przy wzięciu granicy przy $q\to 1$ (w większości sytuacji wewnątrz zespolonego koła jednostkowego). Najwcześniejszym szczegółowo studiowanym $q$-analogiem był podstawowy szereg hipergeometryczny wprowadzony w XIX wieku.

$q$-analogi znajdują zastosowanie w wielu działach, w tym studiach nad fraktalami, czy miarami wielofraktalnymi (ang. multi-fractal measure) i wyrażeniami entropii chaotycznych systemów dynamicznych. Związek z fraktalami i systemami dynamicznymi wynika z faktu, iż większość schematów fraktalnych ma w ogólności symetrie grup Fuchsa (zob. przykładowo Indra's Pearls i sieć Apoloniusza), a w szczególności – grup modularnych. Związek łączy geometrię hiperboliczną i teorię ergodyczną, gdzie całki eliptyczne i formy modularne grają główną rolę; już same $q$-szeregi są blisko związane z całkami eliptycznymi.

$q$-analogi pojawiają się również podczas studiowania grup kwantowych oraz w $q$-zdeformowanych superalgebrach. Związek jest tu podobny w tym, iż większość teorii strun wyrażona jest w języku powierzchni Riemanna, co stanowi połączenie z krzywymi eliptycznymi, które mają z kolei związek z $q$-szeregami.

Wstępne przykłady

Zauważając, że

$\lim _{q\to 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n$

(nie jest niezbędnym w skończonych wyrażeniach tego typu ograniczenie $q$ do wnętrza okręgu jednostkowego), można zdefiniować $q$-analog liczby $n,$ znany także jako $q$-nawias lub $q$-liczba $n,$ jako

$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

Za jego pomocą można zdefiniować $q$-analog silni, $q$-silnię, jako

${\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n-1]_{q}[n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\dots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1(1+q)\dots (1+q+\dots +q^{n-2})(1+q+\dots +q^{n-1}).\end{aligned}}$

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się przechodząc do granicy przy $q\to 1.$

Korzystając z $q$-silni można przejść do definicji współczynników $q$-dwumianowych, znanych również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa lub dwumiany Gaussa:

${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.$

q-analogi kombinatoryczne

Współczynniki Gaussa zliczają podprzestrzenie skończonej przestrzeni liniowej. Niech $q$ będzie liczbą elementów ciała skończonego (liczba $q$ jest wtedy potęgą liczby pierwszej, $q=p^{r},$ tak więc wykorzystanie litery $q$ jest szczególnie stosowne). Wówczas liczba $k$-wymiarowych podprzestrzeni $b$-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem $q$-elementowym wynosi

${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.$

Zbiegając z $q$ do $1$ uzyskuje się współczynnik dwumianowy

${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}$

lub innymi słowy liczbę $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego.

Na tej podstawie skończoną przestrzeń liniową można postrzegać za $q$-uogólnienie zbioru, a jej podprzestrzenie jako $q$-uogólnienia jego podzbiorów. Okazał się to owocny punkt widzenia podczas znajdowania nowych, interesujących twierdzeń. Przykładowo istnieją $q$-analogi twierdzenia Spernera i teorii Ramseya.

q → 1

W przeciwieństwie do uzmienniania $q$ i postrzegania $q$-analogów jako deformacji można rozważać przypadek kombinatoryczny $q=1$ jako granicę $q$-analogów przy $q\to 1$ (często nie można po prostu przyjąć we wzorach $q=1,$ stąd potrzeba brania granic).

Zobacz też

• q-pochodna
• forma modularna
• liczby Stirlinga

Bibliografia

• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., ''q''-analog, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., ''q''-nawias, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., ''q''-silnia, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., współczynnik ''q''-dwumianowy, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).

Linki zewnętrzne

• Umbral calculus. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.).brak strony w książce