q-analog

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

-analog – twierdzenie bądź tożsamość zawierająca zmienną które dają dobrze znany wynik przy wzięciu granicy przy (w większości sytuacji wewnątrz zespolonego koła jednostkowego). Najwcześniejszym szczegółowo studiowanym -analogiem był podstawowy szereg hipergeometryczny wprowadzony w XIX wieku.

-analogi znajdują zastosowanie w wielu działach, w tym studiach nad fraktalami, czy miarami wielofraktalnymi (ang. multi-fractal measure) i wyrażeniami entropii chaotycznych systemów dynamicznych. Związek z fraktalami i systemami dynamicznymi wynika z faktu, iż większość schematów fraktalnych ma w ogólności symetrie grup Fuchsa (zob. przykładowo Indra's Pearls i sieć Apoloniusza), a w szczególności – grup modularnych. Związek łączy geometrię hiperboliczną i teorię ergodyczną, gdzie całki eliptyczne i formy modularne grają główną rolę; już same -szeregi są blisko związane z całkami eliptycznymi.

-analogi pojawiają się również podczas studiowania grup kwantowych oraz w -zdeformowanych superalgebrach. Związek jest tu podobny w tym, iż większość teorii strun wyrażona jest w języku powierzchni Riemanna, co stanowi połączenie z krzywymi eliptycznymi, które mają z kolei związek z -szeregami.

Wstępne przykłady[edytuj]

Zauważając, że

(nie jest niezbędnym w skończonych wyrażeniach tego typu ograniczenie do wnętrza okręgu jednostkowego), można zdefiniować -analog liczby , znany także jako -nawias lub -liczba jako

Za jego pomocą można zdefiniować -analog silni, -silnię, jako

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się przechodząc do granicy przy

Korzystając z -silni można przejść do definicji współczynników -dwumianowych, znanych również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa lub dwumiany Gaussa:

q-analogi kombinatoryczne[edytuj]

Współczynniki Gaussa zliczają podprzestrzenie skończonej przestrzeni liniowej. Niech będzie liczbą elementów ciała skończonego (liczba jest wtedy potęgą liczby pierwszej, tak więc wykorzystanie litery jest szczególnie stosowne). Wówczas liczba -wymiarowych podprzestrzeni -wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem -elementowym wynosi

Zbiegając z do uzyskuje się współczynnik dwumianowy

lub innymi słowy liczbę -elementowych podzbiorów zbioru -elementowego.

Na tej podstawie skończoną przestrzeń liniową można postrzegać za -uogólnienie zbioru, a jej podprzestrzenie jako -uogólnienia jego podzbiorów. Okazał się to owocny punkt widzenia podczas znajdowania nowych, interesujących twierdzeń. Przykładowo istnieją -analogi twierdzenia Spernera i teorii Ramseya.

q → 1[edytuj]

W przeciwieństwie do uzmienniania i postrzegania -analogów jako deformacji można rozważać przypadek kombinatoryczny jako granicę -analogów przy (często nie można po prostu przyjąć we wzorach stąd potrzeba brania granic).

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]