Symbol q-Pochhammera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Symbol q-Pochhammera – w kombinatoryce, dziedzinie matematyki, q-analog zwykłego symbolu Pochhammera. Definiuje się ją wzorem

(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k) = (1-a)(1-aq)(1-aq^2) \dots (1-aq^{n-1}).

Symbol q-Pochhammera jest zasadniczym elementem konstrukcyjnym q-analogów; na przykład w teorii podstawowych szeregów hipergeometrycznych (lub q-szereg hipergeometryczny; ang. basic hypergeometric series, hypergeometric q-series) odgrywa on tę samą rolę, co zwykły symbol Pochhammera w teorii szeregów hipergeometrycznych.

W przeciwieństwie do zwykłego symbolu Pochhammera symbol q-Pochhammera może być rozwinięty w iloczyn nieskończony:

(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k).

Jest to funkcja holomorficzna zmiennej q we wnętrzu koła jednostkowego, może być ona również rozważana jako formalny szereg potęgowy zmiennej q. Przypadek szczególny

\phi(q) = (q;q)_\infty = \prod_{k=1}^\infty (1-q^k)

jest znany jako funkcja Eulera i jest ważny w kombinatoryce, teorii liczb i teorii form modularnych.

q-szereg to szereg, którego współczynnikami są funkcje zmiennej q, zazwyczaj zależne od q poprzez symbole q-Pochhammera.

Tożsamości[edytuj | edytuj kod]

Skończony iloczyn może być wyrażony jako iloczyn nieskończony postaci

(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty},

który rozszerza definicję na ujemne liczby całkowite n. Dla nieujemnych n otrzymuje się więc

(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}

oraz

(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}.

Symbol q-Pochhammera jest przedmiotem wielu tożsamości q-szeregów, w szczególności rozwinięć szeregów nieskończonych

(x;q)_\infty = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n

oraz

\frac{1}{(x;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n},

które są przypadkami szczególnymi twierdzenia o q-dwumianie:

\frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n.

Interpretacja kombinatoryczna[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: podział zbioru.

Symbol q-Pochhammera jest blisko związany z kombinatoryką zliczania podziałów. Współczynnik q^m a^n w

(a;q)_\infty^{-1} = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)^{-1}

jest liczbą podziałów m na co najwyżej n części.

Z własności sprzężenia podziałów liczba ta jest równa liczbie podziałów m na części wielkości co najwyżej n, utożsamienie szeregów generujących daje tożsamość wspomnianą w powyższej sekcji:

(a;q)_\infty^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \left(\prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j} \right) a^k
                         = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{(q;q)_k}.

Jest też, że współczynnik q^m a^n w

(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1+aq^k)

jest liczbą podziałów m na n bądź n - 1 różnych części.

Usunąwszy podział trójkątny o n-1 częściach z takiego podziału uzyskuje się arbitralny podział na co najwyżej n części. Daje to zachowującą wagę bijekcję między zbiorem podziałów na n lub n-1 różnych części oraz zbiorem par składających się z podziałów trójkątnych o n-1 częściach i podziałem na co najwyżej n części. Utożsamienie szeregów generujących prowadzi do następującej tożsamości:

(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^\infty (1+aq^k)
                     = \sum_{k=0}^\infty \left(q^{k\choose 2} \prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j}\right) a^k
                     = \sum_{k=0}^\infty \frac{q^{k\choose 2}}{(q;q)_k} a^k,

również opisanej w sekcji wyżej.

Samo twierdzenie o q-dwumianie może być także opisane za pomocą bardziej kombinatorycznych argumentów podobnego rodzaju.

Konwencja wielu argumentów[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ tożsamości zawierające symbole q-Pochhammera często zawierają iloczyny wielu symboli, standardową konwencją jest zapis iloczynu jako pojedynczego symbolu wieloargumentowego:

(a_1, a_2, \dots, a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \dots (a_m;q)_n.

Związek z q-nawiasem i q-dwumianem[edytuj | edytuj kod]

Zauważając, iż

\lim_{q \to 1} \frac{1-q^n}{1-q}=n,

można zdefiniować q-analog n, znany także jako q-nawias lub q-liczbę n jako

[n]_q = \frac{1-q^n}{1-q}.

Za jego pomocą można zdefiniować q-analog silni, q-silnię, jako

\begin{align} \big[n]_q! & = [1]_q [2]_q \dots [n-1]_q [n]_q \\ & = \frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \dots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} \\ & = 1(1 + q) \dots (1 + q + \cdots + q^{n-2})(1 + q + \cdots + q^{n-1}) \\ & = \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}. \end{align}

Raz jeszcze zwykła silnię uzyskuje się dążąc z q do 1. Może to być interpretowane jako liczba flag w n-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem q-elementowym; biorąc granicę przy q dążącym do 1 uzyskuje się interpretację uporządkowania zbioru (permutacji) jako flagi w przestrzeni liniowej nad ciałem jednoelementowym.

Za pomocą q-silnii można zdefiniować współczynniki q-dwumianowe, znane również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa bądź dwumiany Gaussa:

\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q = \frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.

Można sprawdzić, że

\begin{bmatrix} n+1 \\ k \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q + q^{n-k+1} \begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q.

Definiuje się również q-analog funkcji Gamma nazywany funkcją q-Gamma:

\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}

Zachodzą wzory

\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x)

oraz

\Gamma_q(n+1)=[n]_q!

Funkcja q-Gamma zbiega do zwykłej funkcji Gamma wraz z q dążącym do 1 wewnątrz koła jednostkowego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]