Symbol q-Pochhammera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Symbol -Pochhammera-analog zwykłego symbolu Pochhammera. Definiuje się ją wzorem

Symbol -Pochhammera jest zasadniczym elementem konstrukcyjnym -analogów; na przykład w teorii podstawowych szeregów hipergeometrycznych (lub -szereg hipergeometryczny; ang. basic hypergeometric series, hypergeometric -series) odgrywa on tę samą rolę, co zwykły symbol Pochhammera w teorii szeregów hipergeometrycznych.

W przeciwieństwie do zwykłego symbolu Pochhammera symbol -Pochhammera może być rozwinięty w iloczyn nieskończony:

Jest to funkcja holomorficzna zmiennej we wnętrzu koła jednostkowego, może być ona również rozważana jako formalny szereg potęgowy zmiennej Przypadek szczególny

jest znany jako funkcja Eulera i jest ważny w kombinatoryce, teorii liczb i teorii form modularnych.

-szereg to szereg, którego współczynnikami są funkcje zmiennej zazwyczaj zależne od poprzez symbole -Pochhammera.

Tożsamości[edytuj]

Skończony iloczyn może być wyrażony jako iloczyn nieskończony postaci

który rozszerza definicję na ujemne liczby całkowite Dla nieujemnych otrzymuje się więc

oraz

Symbol -Pochhammera jest przedmiotem wielu tożsamości -szeregów, w szczególności rozwinięć szeregów nieskończonych

oraz

które są przypadkami szczególnymi twierdzenia o -dwumianie:

Interpretacja kombinatoryczna[edytuj]

 Zobacz też: rozbicie zbioru.

Symbol -Pochhammera jest blisko związany z kombinatoryką zliczania podziałów. Współczynnik w

jest liczbą podziałów na co najwyżej części.

Z własności sprzężenia podziałów liczba ta jest równa liczbie podziałów na części wielkości co najwyżej utożsamienie szeregów generujących daje tożsamość wspomnianą w powyższej sekcji:

Jest też, że współczynnik w

jest liczbą podziałów na bądź różnych części.

Usunąwszy podział trójkątny o częściach z takiego podziału uzyskuje się arbitralny podział na co najwyżej części. Daje to zachowującą wagę bijekcję między zbiorem podziałów na lub różnych części oraz zbiorem par składających się z podziałów trójkątnych o częściach i podziałem na co najwyżej części. Utożsamienie szeregów generujących prowadzi do następującej tożsamości:

również opisanej w sekcji wyżej.

Samo twierdzenie o -dwumianie może być także opisane za pomocą bardziej kombinatorycznych argumentów podobnego rodzaju.

Konwencja wielu argumentów[edytuj]

Ponieważ tożsamości zawierające symbole -Pochhammera często zawierają iloczyny wielu symboli, standardową konwencją jest zapis iloczynu jako pojedynczego symbolu wieloargumentowego:

Związek z -nawiasem i -dwumianem[edytuj]

Zauważając, iż

można zdefiniować -analog n, znany także jako -nawias lub -liczbę n jako

Za jego pomocą można zdefiniować -analog silni, -silnię, jako

Raz jeszcze zwykła silnię uzyskuje się dążąc z do Może to być interpretowane jako liczba flag w -wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem -elementowym; biorąc granicę przy dążącym do uzyskuje się interpretację uporządkowania zbioru (permutacji) jako flagi w przestrzeni liniowej nad ciałem jednoelementowym.

Za pomocą -silnii można zdefiniować współczynniki -dwumianowe, znane również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa bądź dwumiany Gaussa:

Można sprawdzić, że

Definiuje się również -analog funkcji Gamma nazywany funkcją -Gamma:

Zachodzą wzory

oraz

Funkcja -Gamma zbiega do zwykłej funkcji Gamma wraz z dążącym do wewnątrz koła jednostkowego.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]