Równanie symetryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Równanie zwrotne)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie symetryczne jest to równanie algebraiczne postaci

, gdzie dla każdego i zachodzi .

Każde równanie symetryczne stopnia co najwyżej można sprowadzić do równania algebraicznego stopnia co najwyżej . W szczególności, za pomocą pierwiastników można rozwiązać dowolne równanie symetryczne aż do dziewiątego stopnia.

Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem i na podstawie twierdzenia Bezouta możemy podzielić obie strony równania równanie przez , otrzymując równanie symetryczne stopnia parzystego.

Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego:

gdzie i dzielimy obie strony równania przez . Grupując wyrazy otrzymujemy

.

Podstawmy teraz . Wówczas sumy można wyrazić jako wielomiany zmiennej :

i ogólnie, korzystając ze związku

czyli

możemy obliczyć , mając i .

Tak więc po podstawieniu równanie redukuje się do równania stopnia :

.

Rozwiązując to równanie, ze związku otrzymujemy rozwiązania pierwotnego równania.

Przykłady[edytuj]

  • Równanie ,gdzie .

Wiedząc, iż rozwiązaniem równania jest -1, dzielimy lewą stronę równania przez . Po podzieleniu otrzymujemy równanie kwadratowe:

gdzie

Dzieląc obustronnie przez i grupując wyrazy otrzymujemy

Podstawiając mamy . Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe

i korzystając z tych rozwiązań obliczyć .

Zobacz też[edytuj]