Równanie czwartego stopnia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie czwartego stopniarównanie algebraiczne postaci , przy .

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferra i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna w 1545.

Najprostsze przypadki równań[edytuj | edytuj kod]

W pewnych przypadkach równanie

(1)

można rozwiązać prostszymi metodami.

Równanie dwukwadratowe[edytuj | edytuj kod]

Jeśli czyli gdy (1) jest postaci

(1a)

to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić .

Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe , które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.

Równanie zwrotne[edytuj | edytuj kod]

Jeśli oraz czyli gdy (1) jest postaci

(1b)

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez i otrzymując

Podstawiając , otrzymuje się i równanie kwadratowe:

z którego oblicza się , a potem wyznacza się

Równanie ze znanym jednym z pierwiastków[edytuj | edytuj kod]

Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek równania (1), to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian przez , redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie można znaleźć wszystkie rozwiązania równania (1).

Redukcja równania ogólnego[edytuj | edytuj kod]

Równanie (1) jest redukowalne do postaci

(2)

.

Wyjściowe równanie należy podzielić obustronnie przez , otrzymując:

(3)

Następnie stosuje się podstawienie prowadzące do:


(4)

Po wymnożeniu otrzymuje się:



(5)

a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:


(6)

Jeśli oznaczy się jako

to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:

(2)

Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu .

Rozwiązywanie równania zredukowanego[edytuj | edytuj kod]

Równanie zredukowane można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:

Metoda Descartes’a-Eulera[edytuj | edytuj kod]

Metoda Descartes’a-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci

(2)

dla (równanie nie jest dwukwadratowe).

Znajdowanie jednego pierwiastka[edytuj | edytuj kod]

Wprowadza się trzy zmienne spełniające równanie

.

Wówczas

,

a stąd


.

Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na dane przez powyższe równania otrzymuje się:




(7)

Każda trójka liczb spełniająca równanie (7) daje rozwiązanie równania (2). Jeśli liczby spełniają równania

(8)
(9)
(10)

to spełniają one również równanie (7). Jeśli równanie (8) przekształci się do

(11)

to układ równań (9)-(11) jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia znajduje się pierwiastki „równania rozwiązującego”:

(12)

Niech

  • będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby ,
  • będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby , a
  • będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby przy którym będzie spełnione równanie (8) powyżej (ponieważ , to i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby spełniają równania (8)-(10), więc również równanie (7). Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2):
.

Znajdowanie wszystkich pierwiastków[edytuj | edytuj kod]

„Równanie rozwiązujące”

(12)

ma pierwiastki . Następnie wyznacza się liczby , tak że oraz .

Wówczas liczby spełniają równania (8)-(10), a zatem również równanie (7). Otrzymuje się więc

oraz

,

a stąd



(13)

Skoro

to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz , więc otrzymuje się równanie:

więc liczby

,  
,  

spełniają równanie (2). Są to wszystkie pierwiastki tego równania.

Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Dowód
Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się
, gdzie nadal są pierwiastkami równania (12).

Metoda Ferrariego[edytuj | edytuj kod]

Równanie (2) przekształca się do

a następnie

(14)

Wprowadzamy nową niewiadomą . Dodając do wyrażenia w nawiasie równania (14) po lewej stronie można zapisać



(15)

czyli

(16)

Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę , tak aby wyróżnik wielomianu po prawej stronie był zerowy:

(17)

Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem

(18)

które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie

jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:

Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]