Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci
przy
W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna w 1545 r.
Najprostsze przypadki równań[edytuj | edytuj kod]
W pewnych przypadkach równanie
| |  |
|
(1) |
można rozwiązać prostszymi metodami.
Jeśli
czyli gdy (1) jest postaci
| |  |
|
(1a) |
to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić
Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe
które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.
Jeśli
oraz
czyli gdy (1) jest postaci
| |  |
|
(1b) |
to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez
i otrzymując

Podstawiając
otrzymuje się
i równanie kwadratowe:

z którego oblicza się
a potem wyznacza się
Równanie ze znanym jednym z pierwiastków[edytuj | edytuj kod]
Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek
równania (1), to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian
przez
redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie, można znaleźć wszystkie rozwiązania równania (1).
Równanie (1) jest redukowalne do postaci
| |  |
|
(2) |
Wyjściowe równanie należy podzielić obustronnie przez
otrzymując:
| |  |
|
(3) |
Następnie stosuje się podstawienie
prowadzące do:
| | 
 |
|
(4) |
Po wymnożeniu otrzymuje się:
| | 

 |
|
(5) |
a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:
| | 
 |
|
(6) |
Jeśli oznaczy się jako



to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:
| |  |
|
(2) |
Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ
i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z
to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu
Rozwiązywanie równania zredukowanego[edytuj | edytuj kod]
Równanie zredukowane można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:
Metoda Descartes’a-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci
| |  |
|
(2) |
dla
(równanie nie jest dwukwadratowe).
Znajdowanie jednego pierwiastka[edytuj | edytuj kod]
Wprowadza się trzy zmienne
spełniające równanie

Wówczas

a stąd


Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na
dane przez powyższe równania, otrzymuje się:
Każda trójka liczb
spełniająca równanie (7) daje rozwiązanie
równania (2). Jeśli liczby
spełniają równania
| |  |
|
(8) |
| |  |
|
(9) |
| |  |
|
(10) |
to spełniają one również równanie (7). Jeśli równanie (8) przekształci się do
| |  |
|
(11) |
to układ równań (9)-(11) jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia, znajduje się pierwiastki
„równania rozwiązującego”:
| |  |
|
(12) |
Niech
będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby 
będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby
a
będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby
przy którym będzie spełnione równanie (8) powyżej (ponieważ
to
i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby
spełniają równania (8)-(10), więc również równanie (7). Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2):

Znajdowanie wszystkich pierwiastków[edytuj | edytuj kod]
„Równanie rozwiązujące”
| |  |
|
(12) |
ma pierwiastki
Następnie wyznacza się liczby
tak że
oraz
Wówczas liczby
spełniają równania (8)-(10), a zatem również równanie (7). Otrzymuje się więc

oraz

a stąd
| | 

 |
|
(13) |
Skoro

![{\displaystyle =\left[\left(2u-t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}+w_{1}\right)^{2}\right]\left[\left(2u+t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}-w_{1}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e8c711becef24f94eff0fe65e0c9e22862292c)



to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz
więc otrzymuje się równanie:


więc liczby


spełniają równanie (2). Są to wszystkie pierwiastki tego równania.
Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.
- Dowód
- Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się

gdzie nadal
są pierwiastkami równania (12).
Równanie (2) przekształca się do

a następnie
| |  |
|
(14) |
Wprowadzamy nową niewiadomą
Dodając do wyrażenia w nawiasie równania (14) po lewej stronie
można zapisać
| | 

 |
|
(15) |
czyli
| |  |
|
(16) |
Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę
tak aby wyróżnik wielomianu po prawej stronie był zerowy:
| |  |
|
(17) |
Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem
| |  |
|
(18) |
które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy
będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie

jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:

Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):
