Równanie czwartego stopnia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie czwartego stopniarównanie algebraiczne postaci ax4 + bx3 + cx2 + dx + h = 0, przy a ≠ 0.

Rys historyczny[edytuj]

W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccolo Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolamo Cardano w Ars Magna w 1545.

Najprostsze typy równań[edytuj]

W pewnych przypadkach równanie

(1)

można rozwiązać, przekształcając je w równanie kwadratowe.

Równanie dwukwadratowe[edytuj]

Jeśli , czyli gdy (1) jest postaci

(1a)

to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić .

Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe , które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.

Równanie zwrotne[edytuj]

Jeśli oraz , czyli gdy (1) jest postaci

(1b)

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez i otrzymując

Podstawiając , otrzymuje się i równanie kwadratowe:

z którego oblicza się , a potem wyznacza się

Redukcja przypadku ogólnego[edytuj]

Dowód, że równanie (1) jest redukowalne do postaci

(2)

.

Wychodząc z równania (1), dzieli się obie strony przez , otrzymując:

(3)

Następnie stosuje się podstawienie prowadzące do:


(4)

Po wymnożeniu otrzymuje się:



(5)

a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:


(6)

Jeśli oznaczy się jako

to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:

(2)

Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu .

Rozwiązywanie równania zredukowanego[edytuj]

Równanie zredukowane w sposób opisany powyżej można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:

Metoda Descartesa-Eulera[edytuj]

Metoda Descartesa-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci

(2)

Gdy , jest to równanie dwukwadratowe. Jeśli nie, to stosuje się procedurę opisaną w tej sekcji.

Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek równania (2), to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian przez , redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie można znaleźć wszystkie rozwiązania równania (2).

Znajdowanie jednego pierwiastka[edytuj]

Wprowadza się trzy zmienne spełniające równanie

.

Wówczas

,

a stąd


.

Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na dane przez powyższe równania otrzymuje się:




(7)

Każda trójka liczb spełniająca równanie (7) daje rozwiązanie równania (2). Jeśli liczby spełniają równania

(8)
(9)
(10)

to spełniają one również równanie (7). Jeśli równanie (8) przekształci się do

(11)

to układ równań (9)-(11) jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia znajduje się pierwiastki „równania rozwiązującego”:

(12)

Niech

  • będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby ,
  • będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby , a
  • będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby przy którym będzie spełnione równanie (8) powyżej (ponieważ , to i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby spełniają równania (8)-(10), więc również równanie (7). Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2):
.

Znajdowanie wszystkich pierwiastków[edytuj]

„Równanie rozwiązujące”

(12)

ma pierwiastki . Następnie wyznacza się liczby , tak że oraz .

Wówczas liczby spełniają równania (8)-(10), a zatem również równanie (7). Otrzymuje się więc

oraz

,

a stąd



(13)

Skoro

to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz , więc otrzymuje się równanie:

więc liczby

,  
,  

spełniają równanie (2). Są to wszystkie pierwiastki tego równania.

Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Dowód
Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się
, gdzie nadal są pierwiastkami równania (12).

Metoda Ferrariego[edytuj]

(2)

Równanie jest redukowalne do powyższego przez podzielenie obu stron przez i podstawienie .

Równanie (2) przekształca się do

a następnie

(14)

Wprowadzamy nową niewiadomą . Dodając do wyrażenia w nawiasie równania (14) po lewej stronie można zapisać



(15)

czyli

(16)

Wyrażenie drugiego stopnia jest kwadratem, gdy jego wyróżnik jest równy zero. Należy zatem wybrać liczbę , tak aby

(17)

Lewa strona równania (17) to wyróżnik wyrażenia kwadratowego

.

Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem

(18)

które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem, przy będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie

jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:

(19)

Powyższe równanie jest redukowalne do kwadratowego, np. korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Inne podejście[edytuj]

Wielomian można zapisać jako iloczyn dwóch wielomianów kwadratowych: i :

Podkreślone wyrazy, czyli trzecie potęgi, upraszczają się. W wyniku pozostałych uproszczeń otrzymujemy poniższe równanie:

Przyrównując odpowiadające sobie potęgi do siebie, otrzymujemy układ 3 równań z 3 niewiadomymi:

Równanie drugie dzielimy przez :

Przenosimy na drugą stronę:

Powyższą postać podstawiamy do równania trzeciego:

Opuszczamy nawiasy:

Przenosimy na lewą stronę:

Otrzymujemy równanie kwadratowe o zmiennej , którego rozwiązaniem jest:

Na podstawie równania podstawiamy do równania pierwszego:

Przenosimy na lewą stronę:

Podstawiamy otrzymaną wyżej postać :

Mnożymy obie strony równania przez :

Podkreślone wyrazy upraszczają się. Pozostałe wszystkie wyrazy, oprócz pierwiastka, przenosimy na prawą stronę:

Podnosimy obie strony równania do kwadratu:

Opuszczamy nawiasy:

Lewą stronę równania przenosimy na prawą:

Grupujemy wyrazy podobne:

Na koniec stosujemy podstawienie :

W ten sposób otrzymujemy równanie sześcienne o zmiennej , które rozwiązujemy i za pomocą którego obliczymy . Rozwiązanie i natomiast jest już trywialne. Rozwiązując , i , znamy równania kwadratowe, których iloczyn opisuje nasze wyjściowe równanie stopnia czwartego, a których rozwiązanie jest równie trywialne.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]