Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci ax4 + bx3 + cx2 + dx + h = 0, przy a ≠ 0.
W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferra i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna w 1545.
W pewnych przypadkach równanie
|
|
 |
|
(1)
|
można rozwiązać, przekształcając je w równanie kwadratowe.
Jeśli
, czyli gdy (1) jest postaci
|
|
 |
|
(1a)
|
to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić
.
Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe
, które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.
Jeśli
oraz
, czyli gdy (1) jest postaci
|
|
 |
|
(1b)
|
to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez
i otrzymując

Podstawiając
, otrzymuje się
i równanie kwadratowe:

z którego oblicza się
, a potem wyznacza się 
Dowód, że równanie (1) jest redukowalne do postaci
|
|
 |
|
(2)
|
Wychodząc z równania (1), dzieli się obie strony przez
, otrzymując:
|
|
 |
|
(3)
|
Następnie stosuje się podstawienie
prowadzące do:
|
|

 |
|
(4)
|
Po wymnożeniu otrzymuje się:
|
|


 |
|
(5)
|
a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:
|
|

 |
|
(6)
|
Jeśli oznaczy się jako



to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:
|
|
 |
|
(2)
|
Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ
i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z
to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu
.
Rozwiązywanie równania zredukowanego[edytuj | edytuj kod]
Równanie zredukowane w sposób opisany powyżej można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:
Metoda Descartes’a-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci
|
|
 |
|
(2)
|
Gdy
, jest to równanie dwukwadratowe. Jeśli nie, to stosuje się procedurę opisaną w tej sekcji.
Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek
równania (2), to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian
przez
, redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie można znaleźć wszystkie rozwiązania równania (2).
Znajdowanie jednego pierwiastka[edytuj | edytuj kod]
Wprowadza się trzy zmienne
spełniające równanie
.
Wówczas
,
a stąd

.
Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na
dane przez powyższe równania otrzymuje się:
Każda trójka liczb
spełniająca równanie (7) daje rozwiązanie
równania (2). Jeśli liczby
spełniają równania
|
|
 |
|
(8)
|
|
|
 |
|
(9)
|
|
|
 |
|
(10)
|
to spełniają one również równanie (7). Jeśli równanie (8) przekształci się do
|
|
 |
|
(11)
|
to układ równań (9)-(11) jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia znajduje się pierwiastki
„równania rozwiązującego”:
|
|
 |
|
(12)
|
Niech
będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby
,
będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby
, a
będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby
przy którym będzie spełnione równanie (8) powyżej (ponieważ
, to
i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby
spełniają równania (8)-(10), więc również równanie (7). Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2):
.
Znajdowanie wszystkich pierwiastków[edytuj | edytuj kod]
„Równanie rozwiązujące”
|
|
 |
|
(12)
|
ma pierwiastki
. Następnie wyznacza się liczby
, tak że
oraz
.
Wówczas liczby
spełniają równania (8)-(10), a zatem również równanie (7). Otrzymuje się więc

oraz
,
a stąd
|
|


 |
|
(13)
|
Skoro

![=\left[\left(2u-t_1\right)^2-\left(v_1+w_1\right)^2\right]\left[\left(2u+t_1\right)^2-\left(v_1-w_1\right)^2\right]=\quad](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d356e6d68ee629de47def9a732a8f0b87c54e7)



to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz
, więc otrzymuje się równanie:

więc liczby
, 
, 
spełniają równanie (2). Są to wszystkie pierwiastki tego równania.
Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.
- Dowód
- Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się
, gdzie nadal
są pierwiastkami równania (12).
|
|
 |
|
(2)
|
Równanie
jest redukowalne do powyższego przez podzielenie obu stron przez
i podstawienie
.
Równanie (2) przekształca się do

a następnie
|
|
 |
|
(14)
|
Wprowadzamy nową niewiadomą
. Dodając do wyrażenia w nawiasie równania (14) po lewej stronie
można zapisać
|
|


 |
|
(15)
|
czyli
|
|
 |
|
(16)
|
Wyrażenie drugiego stopnia jest kwadratem, gdy jego wyróżnik jest równy zero. Należy zatem wybrać liczbę
, tak aby
|
|
 |
|
(17)
|
Lewa strona równania (17) to wyróżnik wyrażenia kwadratowego
.
Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem 
|
|
 |
|
(18)
|
które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy
będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie

jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:
|
|
(19) |
|
|
Powyższe równanie jest redukowalne do kwadratowego, np. korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Wielomian
można zapisać jako iloczyn dwóch wielomianów kwadratowych:
i
:


Podkreślone wyrazy, czyli trzecie potęgi, upraszczają się. W wyniku pozostałych uproszczeń otrzymujemy poniższe równanie:

Przyrównując odpowiadające sobie potęgi do siebie, otrzymujemy układ 3 równań z 3 niewiadomymi:

Równanie drugie dzielimy przez
:

Przenosimy
na drugą stronę:

Powyższą postać
podstawiamy do równania trzeciego:

Opuszczamy nawiasy:

Przenosimy
na lewą stronę:

Otrzymujemy równanie kwadratowe o zmiennej
, którego rozwiązaniem jest:

Na podstawie równania
podstawiamy
do równania pierwszego:

Przenosimy
na lewą stronę:

Podstawiamy otrzymaną wyżej postać
:


Mnożymy obie strony równania przez
:

Podkreślone wyrazy
upraszczają się. Pozostałe wszystkie wyrazy, oprócz pierwiastka, przenosimy na prawą stronę:


Podnosimy obie strony równania do kwadratu:


Opuszczamy nawiasy:

Lewą stronę równania przenosimy na prawą:

Grupujemy wyrazy podobne:

Na koniec stosujemy podstawienie
:

W ten sposób otrzymujemy równanie sześcienne o zmiennej
, które rozwiązujemy i za pomocą którego obliczymy
. Rozwiązanie
i
natomiast jest już trywialne. Rozwiązując
,
i
, znamy równania kwadratowe, których iloczyn opisuje nasze wyjściowe równanie stopnia czwartego, a których rozwiązanie jest równie trywialne.
Ten układ równań można nieco inaczej rozwiązać

Przenieśmy w pierwszym równaniu:
na drugą stronę
Podzielmy drugie równanie przez: 
Pomnóżmy trzecie równanie przez: 

Pierwsze dwa równania dodajmy i odejmijmy stronami

Wstawiamy obliczone b oraz c z pierwszych dwóch równań do trzeciego równania i otrzymujemy







Widzimy że dzielenie przez zero wystąpi gdy: 
Z drugiego równania wnosimy że gdy:
to: 
zatem rozsądnym pomysłem będzie wyodrębnienie przypadku równania dwukwadratowego
i założenie że dokonujemy tego rozkładu gdy: 