Wykres przykładowej funkcji czwartego stopnia
y
=
7
x
4
+
9
x
3
−
24
x
2
−
28
x
+
48
{\displaystyle y=7x^{4}+9x^{3}-24x^{2}-28x+48}
Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
h
=
0
,
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0,}
a
≠
0.
{\displaystyle a\neq 0.}
W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych . Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna
W pewnych przypadkach równanie
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
h
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0}
(1)
można rozwiązać prostszymi metodami.
Jeśli
b
=
d
=
0
,
{\displaystyle b=d=0,\quad {}}
(1) jest postaci
a
x
4
+
c
x
2
+
h
=
0
,
{\displaystyle ax^{4}+cx^{2}+h=0,}
(1a)
to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić
t
=
x
2
.
{\displaystyle t=x^{2}.}
Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe
a
t
2
+
c
t
+
h
=
0
,
{\displaystyle at^{2}+ct+h=0,}
Jeśli
b
=
d
{\displaystyle b=d\;{}}
a
=
h
,
{\displaystyle {}\;a=h,\;{}}
(1) jest postaci
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
b
x
+
a
=
0
,
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,}
(1b)
to równanie jest równaniem zwrotnym . Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez
x
2
{\displaystyle x^{2}}
a
(
x
2
+
x
−
2
)
+
b
(
x
+
x
−
1
)
+
c
=
0.
{\displaystyle a(x^{2}+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.}
Podstawiając
y
=
x
+
x
−
1
,
{\displaystyle y=x+x^{-1},}
x
2
+
x
−
2
=
y
2
−
2
{\displaystyle x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2}
a
(
y
2
−
2
)
+
b
y
+
c
=
0
,
{\displaystyle a(y^{2}-2)+by+c=0,}
z którego oblicza się
y
,
{\displaystyle y,}
x
.
{\displaystyle x.}
Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek
x
0
{\displaystyle x_{0}}
(1) , to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
h
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h}
x
−
x
0
,
{\displaystyle x-x_{0},}
(1) .
Równanie (1) jest redukowalne do postaci
u
4
+
p
u
2
+
q
u
+
r
=
0.
{\displaystyle u^{4}+pu^{2}+qu+r=0.}
(2)
Wyjściowe równanie należy podzielić obustronnie przez
a
,
{\displaystyle a,}
x
4
+
b
a
x
3
+
c
a
x
2
+
d
a
x
+
h
a
=
0.
{\displaystyle x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {h}{a}}=0.}
(3)
Następnie stosuje się podstawienie
x
=
u
−
b
4
a
{\displaystyle x=u-{\tfrac {b}{4a}}}
(
u
−
b
4
a
)
4
+
b
a
(
u
−
b
4
a
)
3
{\displaystyle \left(u-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(u-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}}
+
c
a
(
u
−
b
4
a
)
2
+
d
a
(
u
−
b
4
a
)
+
h
a
=
0.
{\displaystyle {}+{\frac {c}{a}}\left(u-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(u-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {h}{a}}=0.}
(4)
Po wymnożeniu otrzymuje się:
(
u
4
−
b
a
u
3
+
6
b
2
16
a
2
u
2
−
4
b
3
64
a
3
u
+
b
4
256
a
4
)
{\displaystyle \left(u^{4}-{\frac {b}{a}}u^{3}+{\frac {6b^{2}}{16a^{2}}}u^{2}-{\frac {4b^{3}}{64a^{3}}}u+{\frac {b^{4}}{256a^{4}}}\right)}
+
b
a
(
u
3
−
3
b
4
a
u
2
+
3
b
2
16
a
2
u
−
b
3
64
a
3
)
{\displaystyle {}+{\frac {b}{a}}\left(u^{3}-{\frac {3b}{4a}}u^{2}+{\frac {3b^{2}}{16a^{2}}}u-{\frac {b^{3}}{64a^{3}}}\right)}
+
c
a
(
u
2
−
b
2
a
u
+
b
2
16
a
2
)
{\displaystyle {}+{\frac {c}{a}}\left(u^{2}-{\frac {b}{2a}}u+{\frac {b^{2}}{16a^{2}}}\right)}
+
d
a
(
u
−
b
4
a
)
+
h
a
=
0
,
{\displaystyle {}+{\frac {d}{a}}\left(u-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {h}{a}}=0,}
(5)
a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:
u
4
+
(
−
3
b
2
8
a
2
+
c
a
)
u
2
+
(
b
3
8
a
3
−
b
c
2
a
2
+
d
a
)
u
{\displaystyle u^{4}+\left({\frac {-3b^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)u^{2}+\left({\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}}\right)u}
+
(
−
3
b
4
256
a
4
+
c
b
2
16
a
3
−
b
d
4
a
2
+
h
a
)
=
0.
{\displaystyle {}+\left({\frac {-3b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {cb^{2}}{16a^{3}}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {h}{a}}\right)=0.}
(6)
Jeśli oznaczy się jako
p
=
−
3
b
2
8
a
2
+
c
a
,
{\displaystyle p={\frac {-3b^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {c}{a}},}
q
=
b
3
8
a
3
−
b
c
2
a
2
+
d
a
,
{\displaystyle q={\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}},}
r
=
−
3
b
4
256
a
4
+
c
b
2
16
a
3
−
b
d
4
a
2
+
h
a
,
{\displaystyle r={\frac {-3b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {cb^{2}}{16a^{3}}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {h}{a}},}
to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:
u
4
+
p
u
2
+
q
u
+
r
=
0.
{\displaystyle u^{4}+pu^{2}+qu+r=0.}
(2)
Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera , ponieważ
u
=
x
+
b
4
a
{\displaystyle u=x+{\tfrac {b}{4a}}}
u
,
{\displaystyle u,}
x
+
b
4
a
.
{\displaystyle x+{\tfrac {b}{4a}}.}
Równanie zredukowane można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:
Metoda Descartes’a -Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci
u
4
+
p
u
2
+
q
u
+
r
=
0
{\displaystyle u^{4}+pu^{2}+qu+r=0}
(2)
dla
q
≠
0
{\displaystyle q\neq 0\quad {}}
Wprowadza się trzy zmienne
t
,
v
,
w
{\displaystyle t,v,w}
t
+
v
+
w
=
2
u
.
{\displaystyle t+v+w=2u.}
Wówczas
t
2
+
v
2
+
w
2
+
2
(
t
v
+
t
w
+
v
w
)
=
4
u
2
,
{\displaystyle t^{2}+v^{2}+w^{2}+2(tv+tw+vw)=4u^{2},}
a stąd
(
t
2
+
v
2
+
w
2
)
2
+
4
(
t
2
+
v
2
+
w
2
)
(
t
v
+
t
w
+
v
w
)
{\displaystyle \left(t^{2}+v^{2}+w^{2}\right)^{2}+4\left(t^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\left(tv+tw+vw\right)}
+
4
(
t
2
v
2
+
t
2
w
2
+
v
2
w
2
)
+
8
t
v
w
(
t
+
v
+
w
)
=
16
u
4
.
{\displaystyle {}+4\left(t^{2}v^{2}+t^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}\right)+8tvw\left(t+v+w\right)=16u^{4}.}
Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na
u
,
u
2
,
u
4
{\displaystyle u,u^{2},u^{4}}
Każda trójka liczb
t
,
v
,
w
{\displaystyle t,v,w}
(7) daje rozwiązanie
u
{\displaystyle u}
(2) . Jeśli liczby
t
,
v
,
w
{\displaystyle t,v,w}
t
v
w
=
−
q
{\displaystyle tvw=-q}
(8)
t
2
+
v
2
+
w
2
=
−
2
p
{\displaystyle t^{2}+v^{2}+w^{2}=-2p}
(9)
t
2
v
2
+
t
2
w
2
+
v
2
w
2
=
p
2
−
4
r
{\displaystyle t^{2}v^{2}+t^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}=p^{2}-4r}
(10)
to spełniają one również równanie (7) . Jeśli równanie (8) przekształci się do
t
2
v
2
w
2
=
q
2
,
{\displaystyle t^{2}v^{2}w^{2}=q^{2},}
(11)
to układ równań (9) -(11) jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia, znajduje się pierwiastki
z
1
,
z
2
,
z
3
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}
z
3
+
2
p
z
2
+
(
p
2
−
4
r
)
z
−
q
2
=
0.
{\displaystyle z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0.}
(12)
Niech
t
{\displaystyle t}
pierwiastków kwadratowych z liczby
z
1
,
{\displaystyle z_{1},}
v
{\displaystyle v}
z
2
,
{\displaystyle z_{2},}
w
{\displaystyle w}
z
3
,
{\displaystyle z_{3},}
(8) powyżej (ponieważ
q
≠
0
,
{\displaystyle q\neq 0,}
z
3
≠
0
{\displaystyle z_{3}\neq 0}
t
,
v
,
w
{\displaystyle t,v,w}
(8) -(10) , więc również równanie (7) . Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2) :
u
0
=
t
+
v
+
w
2
.
{\displaystyle u_{0}={\frac {t+v+w}{2}}.}
„Równanie rozwiązujące”
z
3
+
2
p
z
2
+
(
p
2
−
4
r
)
z
−
q
2
=
0
{\displaystyle z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0}
(12)
ma pierwiastki
z
1
,
z
2
,
z
3
.
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}.}
Następnie wyznacza się liczby
t
1
,
v
1
,
w
1
,
{\displaystyle t_{1},v_{1},w_{1},}
t
2
=
z
1
,
{\displaystyle t^{2}=z_{1},}
v
2
=
z
2
,
{\displaystyle v^{2}=z_{2},}
w
2
=
z
3
{\displaystyle w^{2}=z_{3}}
t
v
w
=
−
q
.
{\displaystyle tvw=-q.}
Wówczas liczby
t
1
,
v
1
,
w
1
{\displaystyle t_{1},v_{1},w_{1}}
(8) -(10) , a zatem również równanie (7) . Otrzymuje się więc
t
1
2
+
v
1
2
+
w
1
2
=
−
2
p
{\displaystyle t_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}=-2p}
oraz
t
1
2
v
1
2
+
t
1
2
w
1
2
+
v
1
2
w
1
2
=
p
2
−
4
r
,
{\displaystyle t_{1}^{2}v_{1}^{2}+t_{1}^{2}w_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}=p^{2}-4r,}
a stąd
t
1
4
+
v
1
4
+
w
1
4
−
2
(
t
1
2
w
1
2
+
t
1
2
w
1
2
+
v
1
2
w
1
2
)
{\displaystyle t_{1}^{4}+v_{1}^{4}+w_{1}^{4}-2\left(t_{1}^{2}w_{1}^{2}+t_{1}^{2}w_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}\right)}
=
(
t
1
2
+
v
1
2
+
w
1
2
)
2
−
4
(
t
1
2
w
1
2
+
t
1
2
w
1
2
+
v
1
2
w
1
2
)
{\displaystyle {}=\left(t_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}\right)^{2}-4\left(t_{1}^{2}w_{1}^{2}+t_{1}^{2}w_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}\right)}
=
4
p
2
−
4
(
p
2
−
4
r
)
=
16
r
.
{\displaystyle {}=4p^{2}-4\left(p^{2}-4r\right)=16r.}
(13)
Skoro
(
2
u
−
t
1
−
v
1
−
w
1
)
(
2
u
−
t
1
+
v
1
+
w
1
)
(
2
u
+
t
1
−
v
1
+
w
1
)
(
2
u
+
t
1
+
v
1
−
w
1
)
{\displaystyle \left(2u-t_{1}-v_{1}-w_{1}\right)\left(2u-t_{1}+v_{1}+w_{1}\right)\left(2u+t_{1}-v_{1}+w_{1}\right)\left(2u+t_{1}+v_{1}-w_{1}\right)}
=
[
(
2
u
−
t
1
)
2
−
(
v
1
+
w
1
)
2
]
[
(
2
u
+
t
1
)
2
−
(
v
1
−
w
1
)
2
]
{\displaystyle =\left[\left(2u-t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}+w_{1}\right)^{2}\right]\left[\left(2u+t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}-w_{1}\right)^{2}\right]}
=
(
4
u
2
−
t
1
2
)
2
−
(
2
u
−
t
1
)
2
(
v
1
−
w
1
)
2
−
(
2
u
+
t
1
)
2
(
v
1
+
w
1
)
2
+
(
v
1
2
−
w
1
2
)
2
{\displaystyle =\left(4u^{2}-t_{1}^{2}\right)^{2}-\left(2u-t_{1}\right)^{2}\left(v_{1}-w_{1}\right)^{2}-\left(2u+t_{1}\right)^{2}\left(v_{1}+w_{1}\right)^{2}+\left(v_{1}^{2}-w_{1}^{2}\right)^{2}}
=
16
u
4
−
8
u
2
(
t
1
2
+
v
1
2
+
w
1
2
)
−
16
u
t
1
v
1
w
1
+
t
1
4
+
v
1
4
+
w
1
4
−
2
(
t
1
2
w
1
2
+
t
1
2
v
1
2
+
v
1
2
w
1
2
)
{\displaystyle =16u^{4}-8u^{2}\left(t_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}\right)-16ut_{1}v_{1}w_{1}+t_{1}^{4}+v_{1}^{4}+w_{1}^{4}-2\left(t_{1}^{2}w_{1}^{2}+t_{1}^{2}v_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}\right)}
=
16
(
u
4
+
p
u
2
+
q
u
+
r
)
,
{\displaystyle =16(u^{4}+pu^{2}+qu+r),}
to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz
t
1
v
1
w
1
=
−
q
,
{\displaystyle t_{1}v_{1}w_{1}=-q,}
16
(
u
4
+
p
u
2
+
q
u
+
r
)
=
(
2
u
−
t
1
−
v
1
−
w
1
)
(
2
u
−
t
1
+
v
1
+
w
1
)
{\displaystyle 16(u^{4}+pu^{2}+qu+r)=\left(2u-t_{1}-v_{1}-w_{1}\right)\left(2u-t_{1}+v_{1}+w_{1}\right)}
⋅
(
2
u
+
t
1
−
v
1
+
w
1
)
(
2
u
+
t
1
+
v
1
−
w
1
)
,
{\displaystyle \cdot \left(2u+t_{1}-v_{1}+w_{1}\right)\left(2u+t_{1}+v_{1}-w_{1}\right),}
więc liczby
u
1
=
t
1
+
v
1
+
w
1
2
,
{\displaystyle u_{1}={\frac {t_{1}+v_{1}+w_{1}}{2}},}
u
2
=
t
1
−
v
1
−
w
1
2
,
{\displaystyle u_{2}={\frac {t_{1}-v_{1}-w_{1}}{2}},}
u
3
=
−
t
1
+
v
1
−
w
1
2
,
{\displaystyle u_{3}={\frac {-t_{1}+v_{1}-w_{1}}{2}},}
u
4
=
−
t
1
−
v
1
+
w
1
2
{\displaystyle u_{4}={\frac {-t_{1}-v_{1}+w_{1}}{2}}}
spełniają równanie (2) . Są to wszystkie pierwiastki tego równania.
Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.
Dowód
Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się
(
u
1
−
u
2
)
(
u
1
−
u
3
)
(
u
1
−
u
4
)
(
u
2
−
u
3
)
(
u
2
−
u
4
)
(
u
3
−
u
4
)
=
(
t
1
2
−
v
1
2
)
(
t
1
2
−
w
1
2
)
(
v
1
2
−
w
1
2
)
,
{\displaystyle \left(u_{1}-u_{2}\right)\left(u_{1}-u_{3}\right)\left(u_{1}-u_{4}\right)\left(u_{2}-u_{3}\right)\left(u_{2}-u_{4}\right)\left(u_{3}-u_{4}\right)=\left(t_{1}^{2}-v_{1}^{2}\right)\left(t_{1}^{2}-w_{1}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}-w_{1}^{2}\right),\quad {}}
gdzie nadal
t
1
,
v
1
,
w
1
{\displaystyle t_{1},v_{1},w_{1}}
(12) .
Równanie (2) przekształca się do
u
4
+
2
p
u
2
+
p
2
=
p
u
2
−
q
u
−
r
+
p
2
,
{\displaystyle u^{4}+2pu^{2}+p^{2}=pu^{2}-qu-r+p^{2},}
a następnie
(
u
2
+
p
)
2
=
p
u
2
−
q
u
−
r
+
p
2
.
{\displaystyle (u^{2}+p)^{2}=pu^{2}-qu-r+p^{2}.}
(14)
Wprowadzamy nową niewiadomą
v
.
{\displaystyle v.}
(14) po lewej stronie
v
,
{\displaystyle v,}
(
u
2
+
p
+
v
)
2
=
(
u
2
+
p
)
2
+
2
v
(
u
2
+
p
)
+
v
2
{\displaystyle (u^{2}+p+v)^{2}=(u^{2}+p)^{2}+2v(u^{2}+p)+v^{2}}
=
p
u
2
−
q
u
−
r
+
p
2
+
2
v
(
u
2
+
p
)
+
v
2
{\displaystyle {}=pu^{2}-qu-r+p^{2}+2v(u^{2}+p)+v^{2}}
=
(
p
+
2
v
)
u
2
−
q
u
+
(
p
2
−
r
+
2
p
v
+
v
2
)
,
{\displaystyle {}=(p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2}),}
(15)
czyli
(
u
2
+
p
+
v
)
2
=
(
p
+
2
v
)
u
2
−
q
u
+
(
p
2
−
r
+
2
p
v
+
v
2
)
.
{\displaystyle (u^{2}+p+v)^{2}=(p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2}).}
(16)
Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę
v
,
{\displaystyle v,}
(
−
q
)
2
−
4
(
p
+
2
v
)
(
p
2
−
r
+
2
p
v
+
v
2
)
=
0.
{\displaystyle (-q)^{2}-4(p+2v)(p^{2}-r+2pv+v^{2})=0.}
(17)
Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem
v
{\displaystyle v}
(
q
2
−
4
p
3
+
4
p
r
)
+
(
−
16
p
2
+
8
r
)
v
−
20
p
v
2
−
8
v
3
=
0
,
{\displaystyle (q^{2}-4p^{3}+4pr)+(-16p^{2}+8r)v-20pv^{2}-8v^{3}=0,}
(18)
które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy
v
{\displaystyle v}
(
p
+
2
v
)
u
2
−
q
u
+
(
p
2
−
r
+
2
p
v
+
v
2
)
{\displaystyle (p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2})}
jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:
(
u
2
+
p
+
v
)
2
=
(
p
+
2
v
)
(
u
−
q
2
(
p
+
2
v
)
)
2
.
{\displaystyle (u^{2}+p+v)^{2}=(p+2v)\left(u-{\frac {q}{2(p+2v)}}\right)^{2}.}
Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):
(
u
2
−
p
+
2
v
⋅
u
+
p
+
v
+
q
2
p
+
2
v
)
(
u
2
+
p
+
2
v
⋅
u
+
p
+
v
−
q
2
p
+
2
v
)
=
0.
{\displaystyle \left(u^{2}-{\sqrt {p+2v}}\cdot u+p+v+{\tfrac {q}{2{\sqrt {p+2v}}}}\right)\left(u^{2}+{\sqrt {p+2v}}\cdot u+p+v-{\tfrac {q}{2{\sqrt {p+2v}}}}\right)=0.}
![{\displaystyle =\left[\left(2u-t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}+w_{1}\right)^{2}\right]\left[\left(2u+t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}-w_{1}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e8c711becef24f94eff0fe65e0c9e22862292c)
