Równanie kwadratowe

Wzór na rozwiązania równania kwadratowego, gdzie $a,$ $b$ i $c$ to współczynniki postaci ogólnej. Wyrażenie pod pierwiastkiem jest znane jako wyróżnik równania kwadratowego, trójmianu kwadratowego lub funkcji kwadratowej. Wyróżnik bywa oznaczany dużą grecką literą delta: $\Delta$

Równanie kwadratowe, równanie drugiego stopnia – rodzaj równania, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze i opcjonalnie też w pierwszej. Zazwyczaj równanie kwadratowe w domyśle ma jedną niewiadomą – wtedy zawsze sprowadza się do postaci:

$ax^{2}+bx+c=0,\ a\neq 0.$

Założenie $a\neq 0$ oznacza, że do równań kwadratowych nie zalicza się równań liniowych. Powyższe równanie nie jest jedyną definicją równania kwadratowego o jednej niewiadomej – istnieją też definicje równoważne, ponieważ wyrażenie po lewej zawsze da się przekształcić do innej postaci.

Niewiadoma $x$ i wielkości $a,$ $b,$ $c$ mogą być liczbami rzeczywistymi $(\mathbb {R} )$ lub elementami dowolnej innej struktury, w której występują dodawanie i mnożenie. W tym artykule opisano głównie równania kwadratowe o zmiennych rzeczywistych. Jest to standardowy element wykształcenia matematycznego na poziomie średnim; przykładowo równania kwadratowe tego typu znalazły się w podstawie programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym. Równania kwadratowe stosuje się między innymi w geometrii, na przykład planimetrii.

Równania kwadratowe w powyższym sensie mają uogólnienia opisane w odpowiedniej sekcji.

Definicje

W opisie równań kwadratowych z jedną niewiadomą używa się kilkunastu terminów – nazwanych pojęć. Opisują one różne postacie i odmiany takich równań, a oprócz tego:

• rozwiązanie równania to każda liczba, która po podstawieniu w miejsce $x$ i wykonaniu wszystkich działań daje równość. Inna nazwa rozwiązania to pierwiastek;
• jeśli istnieje tylko jedno rozwiązanie, to bywa znane jako pierwiastek podwójny.

Postać ogólna

Dla równania kwadratowego z jedną niewiadomą postać ogólna to ta wspomniana wyżej:

$ax^{2}+bx+c=0,\ a\neq 0.$

• wyrażenie po lewej jest też znane jako trójmian kwadratowy; bliżej opisuje je artykuł o funkcjach kwadratowych;
• wielkości $a,b,c$ to współczynniki, kolejno: kwadratowy, liniowy i stały. Ten ostatni to inaczej wyraz wolny;
• jeśli wszystkie współczynniki są niezerowe, tzn. także $b\neq 0$ i $c\neq 0,$ to równanie kwadratowe nazywa się zupełnym. W przeciwnym wypadku – czyli kiedy $b=0$ lub $c=0$ – równanie kwadratowe nazywa się niezupełnym. Ta druga nazwa opisuje dwa rodzaje równań:

${\begin{aligned}ax^{2}+c&=0\ (b=0),\\ax^{2}+bx&=0\ (c=0).\end{aligned}}$

Inne postacie

• Dla każdego trójmianu kwadratowego istnieje równoważna postać kanoniczna, przez co mówi się też o postaci kanonicznej równania kwadratowego:

$a(x-p)^{2}+q=0.$

Dalsze sekcje opisują:

• jak znajdować postać kanoniczną na podstawie tej ogólnej;
• jak rozwiązywać równania w postaci kanonicznej.

• Dla niektórych trójmianów kwadratowych – i przez to też równań kwadratowych – istnieje postać iloczynowa:

$a(x-x_{1})(x-x_{2})=0.$

Liczby $x_{1},x_{2}$ to rozwiązania – podstawione pod $x$ sprawiają, że lewa strona równości jest równa zeru.

• W szczególności rozwiązania mogą być równe, tzn. może występować wspomniany wyżej pierwiastek podwójny: $x_{1}=x_{2},$ oznaczany też przez $x_{0}.$ Wtedy postacią iloczynową równania jest:

$a(x-x_{0})^{2}=0.$

W tym wypadku postać iloczynowa pokrywa się z kanoniczną: $p=x_{0},$ $q=0.$

• Wyrażenia $(x-x_{1})$ i $(x-x_{2})$ występujące w postaci iloczynowej są znane jako czynniki liniowe.
• Znajdowanie postaci iloczynowej to inaczej rozkład na czynniki liniowe.

Równania kwadratowe niezupełne

Brak wyrazu wolnego

Najłatwiej rozwiązać równanie kwadratowe bez wyrazu wolnego, czyli postaci:

$ax^{2}+bx=0,\ a\neq 0.$

Wystarczy skorzystać z rozdzielności mnożenia, czyli zamienić sumę iloczynów na jeden iloczyn:

$x(ax+b)=0.$

Ta czynność bywa nazywana wyłączaniem wspólnego czynnika przed nawias. Następnie wystarczy skorzystać z faktu, że iloczyn może być zerowy tylko gdy któryś czynnik jest zerowy. Stąd dwa rozwiązania:

${\begin{aligned}x_{1}&=0,\\ax_{2}+b&=0,\\x_{2}&=-{\tfrac {b}{a}}.\end{aligned}}$

Brak członu liniowego

Drugi rodzaj równań kwadratowych niezupełnych jest postaci:

$ax^{2}+c=0,\ a\neq 0.$

Można je przekształcić, wykonując działania na obu stronach równości:

${\begin{aligned}ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\tfrac {c}{a}}.\end{aligned}}$

Liczba rozwiązań rzeczywistych zależy tu od znaku prawej strony:

• jeśli jest ujemna $(<0)$ – tzn. $a$ i $c$ mają zgodne znaki – to takich rozwiązań nie ma $(x\notin \mathbb {R} );$
• jeśli jest dodatnia $(>0)$ – tzn. $a$ i $c$ mają przeciwne znaki – to ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. Dzięki temu rozwiązania są dwa:

${\begin{aligned}x_{1}&={\sqrt {-{\tfrac {c}{a}}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {-{\tfrac {c}{a}}}}.\end{aligned}}$

Dwa powyższe rozwiązania można też uzasadniać własnościami wartości bezwzględnej i jednym ze wzorów skróconego mnożenia, konkretniej różnicą kwadratów $(u^{2}-v^{2}=...)$. Przykład użycia tej drugiej metody:

${\begin{aligned}4x^{2}-1&=0,\\(2x)^{2}-1^{2}&=0,\\(2x-1)(2x+1)&=0,\\2x-1=0\ \vee \ 2x+1&=0,\\x_{1}={\tfrac {1}{2}},\ x_{2}&=-{\tfrac {1}{2}},\end{aligned}}$

gdzie symbol $\vee$ oznacza spójnik „lub”.

Znaki współczynników i rozwiązań

Kartezjusz, fr. René Descartes (1596–1650)

Postać ogólna równania kwadratowego pozwala:

• szybko wykluczyć pewne rodzaje rozwiązań;
• wywnioskować, że pewien rodzaj rozwiązań musi istnieć.

Poniższa lista wyczerpuje wszystkie możliwe przypadki (scenariusze).

• Jeśli wszystkie wszystkie współczynniki równania kwadratowego są nieujemne $(a,\ b,\ c\geqslant 0)$ lub niedodatnie $(a,\ b,\ c\leqslant 0),$ to równanie nie ma rozwiązań dodatnich $(x\notin \mathbb {R} _{+})$. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi – inne równania kwadratowe też mogą nie mieć rozwiązań dodatnich, na przykład:

${\begin{aligned}x^{2}-2x+2&=0,\\(x-1)^{2}+1&=0,\\(x-1)^{2}&=-1,\\x&\notin \mathbb {R} .\end{aligned}}$

• Jeśli współczynniki kwadratowy i wolny mają zgodne znaki $(ac>0),$ a współczynnik liniowy ma znak przeciwny $(ab<0),$ to nie ma rozwiązań ujemnych. Przykład to równanie podane wyżej:

$x^{2}-2x+1=0.$

Po podstawieniu pod $x$ liczby ujemnej wszystkie trzy człony (składniki) są dodatnie, więc ich suma nie może być zerowa.

• Jeśli współczynniki kwadratowy i wolny mają przeciwne znaki $(ac<0),$ to istnieje co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie. Przykłady to równania:

${\begin{aligned}x^{2}+x-2=0,\\x^{2}-x-2=0.\end{aligned}}$

Ostatni fakt wynika z twierdzenia Darboux, a wszystkie trzy reguły to szczególne przypadki reguły znaków Kartezjusza.

Inne szczególne przypadki

Wzory skróconego mnożenia

Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$ Ten wzór pomaga rozwiązać niektóre równania kwadratowe zupełne, tzn. zawierające wszystkie trzy człony

Czasem zupełne równanie kwadratowe da się przedstawić w postaci iloczynowej, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Przykład – równanie:

$x^{2}+2x+1=0.$

Można je zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

$(x+1)^{2}=0.$

Wtedy istnieje jedno rozwiązanie: $x_{0}=-1.$

Współczynniki całkowite

Istnieją pewne szczególne metody rozwiązywania równań o współczynnikach całkowitych – równań, gdzie współczynniki postaci ogólnej są liczbami całkowitymi:

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0,\\a,\ b,\ c\ &\in \mathbb {Z} .\\\end{aligned}}$

W takich przypadkach istnieje metoda wyznaczania rozwiązań wymiernych, czyli ilorazów liczb całkowitych. Dokładniej:

Jeżeli liczba wymierna $p/q,$ gdzie $p$ i $q\neq 0$ są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to $p$ jest dzielnikiem $c,$ a $q$ jest dzielnikiem $a.$

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.

Przykłady

• Rozwiązaniami wymiernymi równania

$2x^{2}-7x+5=0$

mogą być tylko liczby należące do zbioru $\{-5,-1,1,5,-5/2,-1/2,1/2,5/2\}.$ Podstawiając $x=-5$ otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie $x=5$ daje $20\neq 0;$ liczba $x=-1$ podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość $14;$ liczba $x=1$ jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest $5/2$).

Jeśli współczynniki $a,b,c$ są innymi liczbami wymiernymi, to równanie można sprowadzić do postaci opisanej wyżej. Wystarczy pomnożyć je stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) mianowników tych współczynników. Uzyskane równanie jest równoważne, tj. ma jednakowy zbiór rozwiązań.

Inne

Jeżeli suma współczynników równania

$ax^{2}+bx+c=0$

jest równa zeru, tzn. $a+b+c=0,$ to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba $1$ (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli $-a+b-c=0,$ to liczba $-1$ jest pierwiastkiem tego równania.

Przykład

Równanie

$7x^{2}-x-8=0$

na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy $-1.$

Rozwiązania przypadku ogólnego

Wyróżnik

Przykłady różnych znaków wyróżnika:
■ <0: x² + ¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x² + ⁴⁄₃x − ¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x² + ¹⁄₂x − ⁴⁄₃

Ponieważ

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\tfrac {bx}{a}}+{\tfrac {c}{a}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {xb}{a}}+{\tfrac {4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {2xb}{2a}}+{\tfrac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {2xb}{2a}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left((x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}-{\tfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\left(x+{\tfrac {b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\\&=a\left(x-{\tfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\end{aligned}}$

(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

$x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

oraz

$x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Wyrażenie

$\Delta =b^{2}-4ac$

nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli $\Delta =0,$ to

$x_{1}=x_{2}={\tfrac {-b}{2a}}.$

Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy $\Delta <0,$ to

${\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {4ac-b^{2}}},$

gdzie $i$ jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi ${\tfrac {-b}{2a}}.$ Jeżeli $\Delta >0,$ to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem ${\tfrac {-b}{2a}}.$ Przypadki dla $\Delta \neq 0$ można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi ${\tfrac {-b}{2a}}$ (por. wzory Viète’a).

Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile $\Delta \geqslant 0.$ Dokładniej, jeśli:

• $\Delta >0,$ to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste),
• $\Delta =0,$ to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty),
• $\Delta <0,$ to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami $\mathbb {Z} _{p},$ gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą większą od 2.

Przykłady

• Równanie

$-2x^{2}+3x-1=0$

ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy

$3^{2}-4(-2)(-1)=9-8=1>0.$

Są nimi:

$x_{1}={\tfrac {-3-1}{2(-2)}}={\tfrac {-4}{-4}}=1$ oraz

$x_{2}={\tfrac {-3+1}{2(-2)}}={\tfrac {-2}{-4}}={\tfrac {1}{2}}.$

• Równanie

$x^{2}+2x=-4$

po uporządkowaniu ma postać

$x^{2}+2x+4=0.$

Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż

$\Delta =2^{2}-4\cdot 1\cdot 4=-12<0,$

jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ $\Delta =-12=12i^{2},$ to rozwiązania mają postać

$x_{1,2}=-1\pm {\sqrt {3}}i.$

• Równanie

$4x^{2}+4x+1=0$

ma jedno rozwiązanie $x=-{\tfrac {1}{2}},$ gdyż wyróżnik

$4^{2}-4\cdot 4\cdot 1=0.$

Dopełnianie do kwadratu

Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

$x^{2}+bx+d=0$

będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

$x^{2}+bx+c=(x-t)^{2},$

to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

$x^{2}+bx+c-c+d=0,$

skąd

$(x-t)^{2}-(c-d)=0,$

a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

$(x-t-{\sqrt {c-d}})(x-t+{\sqrt {c-d}})=0,$

co daje rozwiązania

$x=t+{\sqrt {c-d}}$ oraz $x=t-{\sqrt {c-d}}.$

Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy $c-d>0.$

Przykłady

• Równanie

$x^{2}-4x+2=0$

jest tożsame następującemu

$x^{2}-2\cdot 2x+4-4+2=0,$

kontynuując uzyskuje się

$(x-2)^{2}-2=0,$

co jest równoważne

$(x-2)^{2}-({\sqrt {2}})^{2}=0$

oraz

$(x-2-{\sqrt {2}})(x-2+{\sqrt {2}})=0,$

a więc rozwiązaniami są

$x_{1}=2+{\sqrt {2}}$ oraz $x_{2}=2-{\sqrt {2}}.$

Wzory Viète’a

François Viète (1540–1603)

Znając jedno rozwiązanie, można szybko znaleźć drugie. Służą do tego wzory Viète’a, które dla wielomianu $ax^{2}+bx+c$ mają postać

${\begin{cases}x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\\x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}.\end{cases}}$

Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

$x^{2}+bx+c$

spełniają równości $b=u+v$ i $c=uv,$ to można go zapisać jako

$(x+u)(x+v).$

Oznacza to, że rozwiązaniami równania

$x^{2}+bx+c=0,$

którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby

$x_{1}=-u$ oraz $x_{2}=-v.$

Przykłady

• Równanie

$x^{2}+5x+6=0$

daje się przedstawić w postaci

$(x+2)(x+3)=0,$

skąd otrzymuje się rozwiązania

$x_{1}=-2$ oraz $x_{2}=-3.$

• Równanie

$x^{2}-5x-6=0$

można zapisać jako

$(x+1)(x-6)=0,$

co oznacza, że rozwiązaniami są liczby

$x_{1}=-1$ oraz $x_{2}=6.$

Uogólnienia

Przykładowy okrąg w kartezjańskim układzie współrzędnych. Można go opisać równaniem kwadratowym o dwóch niewiadomych

Przykładowe kwadryki – powierzchnie, które da się opisać równaniami kwadratowymi o trzech zmiennych rzeczywistych

Wiele niewiadomych

Oprócz równań kwadratowych powyższego typu rozważa się też równania kwadratowe z większą liczbą niewiadomych, np.:

$x^{2}+y^{2}+ax+by=c.$

To równanie może być opisem okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych. Ogólne równanie kwadratowe o dwóch niewiadomych opisuje artykuł: krzywa drugiego stopnia.

Znanym równaniem kwadratowym o trzech niewiadomych jest równanie Pitagorasa:

$x^{2}+y^{2}=z^{2}.$

Ogólne równania kwadratowe o trzech niewiadomych opisuje artykuł: kwadryka.

Inne uogólnienia

Rozważa się też:

• równania kwadratowe – z jedną lub wieloma niewiadomymi – w których zmienne nie są rzeczywiste;
• równania, gdzie niewiadome występują też w innych potęgach – przykłady to:
  • równania sześcienne i inne równania wielomianowe wyższych stopni;
  • bardziej ogólne równania wymierne;
  • inne równania algebraiczne;
• równania kwadratowe z modułem. W takich równaniach występują wartości bezwzględne z trójmianów kwadratowych, czyli wyrażenia postaci $|ax^{2}+bx+c|.$ Mogą być przyrównane do stałej, do wyrażenia liniowego lub do trójmianu kwadratowego. Takich wyrażeń kwadratowych w module może być wiele – mogą być do siebie dodawane i od siebie odejmowane;
• nierówności kwadratowe – pomagają w tym pojęcia funkcji kwadratowej i jej wykresu.

Zobacz też

• okrąg Carlyle’a

Linki zewnętrzne

• Algebra – równanie kwadratowe, kanał Khan Academy na YouTube [dostęp 2025-08-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Quadratic Equation, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-12-16].
• Quadratic equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-16].