Równanie kwadratowe

Wykres funkcji kwadratowej zmiennej rzeczywistej przy zmianie różnych współczynników

Równanie kwadratowe – równanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze i opcjonalnie niższych. Innymi słowy równanie wielomianowe drugiego stopnia, czyli równanie postaci:

$ax^{2}+bx+c=0,$

gdzie $a,b,c$ są jego współczynnikami rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego ciała. Zakłada się, że $a\neq 0,$ dzięki czemu równanie nie degeneruje się do równania liniowego. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: kwadratowym, liniowym i stałym (bądź wyrazem wolnym).

Inną nazwą równania kwadratowego jest równanie drugiego stopnia.

Rozwiązania

Rozwiązaniem równania kwadratowego

$ax^{2}+bx+c=0$

nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce $x$ daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.

$a(x-x_{1})(x-x_{2})=0,$

dla pewnych liczb $x_{1},x_{2},$ to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb $x_{1},x_{2},$ gdyż podstawiona zamiast $x$ sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.

W szczególności może być $x_{1}=x_{2},$ wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest

$a(x-x_{1})^{2}=0.$

Wyróżnik

Ponieważ

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\tfrac {bx}{a}}+{\tfrac {c}{a}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {xb}{a}}+{\tfrac {4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {2xb}{2a}}+{\tfrac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {2xb}{2a}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left((x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}-{\tfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\left(x+{\tfrac {b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\\&=a\left(x-{\tfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\end{aligned}}$

(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

$x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

oraz

$x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Wyrażenie

$\Delta =b^{2}-4ac$

nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli $\Delta =0,$ to

$x_{1}=x_{2}={\tfrac {-b}{2a}}.$

Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy $\Delta <0,$ to

${\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {4ac-b^{2}}},$

gdzie $i$ jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi ${\tfrac {-b}{2a}}.$ Jeżeli $\Delta >0,$ to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem ${\tfrac {-b}{2a}}.$ Przypadki dla $\Delta \neq 0$ można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi ${\tfrac {-b}{2a}}$ (por. wzory Viète’a).

Przykłady różnych znaków wyróżnika:
■ <0: x² + ¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x² + ⁴⁄₃x − ¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x² + ¹⁄₂x − ⁴⁄₃

Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile $\Delta \geqslant 0.$ Dokładniej, jeśli:

• $\Delta >0,$ to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste),
• $\Delta =0,$ to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty),
• $\Delta <0,$ to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami $\mathbb {Z} _{p},$ gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą większą od 2.

Przykłady

• Równanie

$-2x^{2}+3x-1=0$

ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy

$3^{2}-4(-2)(-1)=1>0.$

Są nimi $x_{1}={\tfrac {1}{2}}$ oraz $x_{2}=1.$

• Równanie

$x^{2}+2x=-4$

po uporządkowaniu ma postać

$x^{2}+2x+4=0.$

Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż

$\Delta =2^{2}-4\cdot 1\cdot 4=-12<0,$

jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ $\Delta =-12=12i^{2},$ to rozwiązania mają postać

$x_{1,2}=-1\pm {\sqrt {3}}i.$

• Równanie

$4x^{2}+4x+1=0$

ma jedno rozwiązanie $x=-{\tfrac {1}{2}},$ gdyż wyróżnik

$4^{2}-4\cdot 4\cdot 1=0.$

Wzory skróconego mnożenia

Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykłady

• Równanie

$x^{2}+2x+1=0$

można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako

$(x+1)^{2}=0,$

wtedy $x=-1$ jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.

• Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie

$4x^{2}-1=0$

jest tożsame równaniu

$(2x-1)(2x+1)=0,$

skąd musi być

$2x-1=0$ lub $2x+1=0,$

tzn. rozwiązaniami jest każda z liczb

$x={\tfrac {1}{2}}$ oraz $x=-{\tfrac {1}{2}}.$

Wzory Viète’a

Znając jedno rozwiązanie, można wskazać drugie, korzystając z tzw. wzorów Viète’a, które dla wielomianu $ax^{2}+bx+c$ mają postać

${\begin{cases}x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\\x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}.\end{cases}}$

Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

$x^{2}+bx+c$

spełniają równości $b=u+v$ i $c=uv,$ to można go zapisać jako

$(x+u)(x+v).$

Oznacza to, że rozwiązaniami równania

$x^{2}+bx+c=0,$

którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby

$x_{1}=-u$ oraz $x_{2}=-v.$

Przykłady

• Równanie

$x^{2}+5x+6=0$

daje się przedstawić w postaci

$(x+2)(x+3)=0,$

skąd otrzymuje się rozwiązania

$x_{1}=-2$ oraz $x_{2}=-3.$

• Równanie

$x^{2}-5x-6=0$

można zapisać jako

$(x+1)(x-6)=0,$

co oznacza, że rozwiązaniami są liczby

$x_{1}=-1$ oraz $x_{2}=6.$

Dopełnianie do kwadratu

Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

$x^{2}+bx+d=0$

będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

$x^{2}+bx+c=(x-t)^{2},$

to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

$x^{2}+bx+c-c+d=0,$

skąd

$(x-t)^{2}-(c-d)=0,$

a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

$(x-t-{\sqrt {c-d}})(x-t+{\sqrt {c-d}})=0,$

co daje rozwiązania

$x=t+{\sqrt {c-d}}$ oraz $x=t-{\sqrt {c-d}}.$

Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy $c-d>0.$

Przykłady

• Równanie

$x^{2}-4x+2=0$

jest tożsame następującemu

$x^{2}-2\cdot 2x+4-4+2=0,$

kontynuując uzyskuje się

$(x-2)^{2}-2=0,$

co jest równoważne

$(x-2)^{2}-({\sqrt {2}})^{2}=0$

oraz

$(x-2-{\sqrt {2}})(x-2+{\sqrt {2}})=0,$

a więc rozwiązaniami są

$x_{1}=2+{\sqrt {2}}$ oraz $x_{2}=2-{\sqrt {2}}.$

Współczynniki całkowite

Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci

$ax^{2}+bx+c=0,$

gdzie $a,b,c$ są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:

Jeżeli liczba wymierna $p/q,$ gdzie $p$ i $q\neq 0$ są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to $p$ jest dzielnikiem $c,$ a $q$ jest dzielnikiem $a.$

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.

Przykłady

• Rozwiązaniami wymiernymi równania

$2x^{2}-7x+5=0$

mogą być tylko liczby należące do zbioru $\{-5,-1,1,5,-5/2,-1/2,1/2,5/2\}.$ Podstawiając $x=-5$ otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie $x=5$ daje $20\neq 0;$ liczba $x=-1$ podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość $14;$ liczba $x=1$ jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest $5/2$).

Inne

Jeżeli suma współczynników równania

$ax^{2}+bx+c=0$

jest równa zeru, tzn. $a+b+c=0,$ to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba $1$ (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli $-a+b-c=0,$ to liczba $-1$ jest pierwiastkiem tego równania.

Przykład

Równanie

$7x^{2}-x-8=0$

na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy $-1.$

Zobacz też

• funkcja kwadratowa
• równanie liniowe
• równanie sześcienne
• równanie czwartego stopnia (równanie dwukwadratowe)
• okrąg Carlyle’a