Reszta kwadratowa modulo
(Przekierowano z Reszta kwadratowa)
W teorii liczb, resztą kwadratową modulo (gdzie jest liczbą pierwszą) nazywamy taką liczbę całkowitą że istnieje rozwiązanie kongruencji:
Jeśli powyższa kongruencja nie ma rozwiązania dla pewnej liczby całkowitej , to taką liczbę nazywamy nieresztą kwadratową modulo .[1]
Własności[edytuj | edytuj kod]
Symbol Legendre'a[edytuj | edytuj kod]
Wartość symbolu Legendre'a określamy wzorem:
Jeśli to .[2] Symbol Legendre’a jest również funkcją ściśle multiplikatywną licznika:
Kryterium Eulera[edytuj | edytuj kod]
Jeśli jest liczbą pierwszą większą od 2 i jest liczbą całkowitą spełniającą , to jest resztą kwadratową modulo wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi kongruencja
Z wykorzystaniem symbolu Legendre'a kryterium to można zapisać następująco:
Prawo wzajemności reszt kwadratowych[edytuj | edytuj kod]
Dla różnych liczb pierwszych i większych od 2 zachodzi równość
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
|
Ta sekcja od 2017-07 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. |
- Kwadrat dowolnej liczby całkowitej kończy się jedną z cyfr: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Oznacza to, że liczby te są resztami kwadratowymi modulo 10.
- Resztami kwadratowymi modulo 8 są liczby 0, 1 i 4. Nieresztami są liczby 2, 3, 5, 6, 7. Wynika stąd, że kwadrat dowolnej liczby nieparzystej daje z dzielenia przez 8 resztę 1.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ a b c d e f Jerzy Rutkowski , Teoria liczb w zadaniach, Wydanie I, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018, s. 71-72, ISBN 978-83-01-19874-9 [dostęp 2024-01-22] (pol.).
- ↑ a b c Władysław Narkiewicz , Teoria liczb, Wyd. 3 zm, Warszawa: Wydaw. Naukowe PWN, 2003, s. 61-65, ISBN 978-83-01-14015-1 [dostęp 2024-01-22] (pol.).
- ↑ a b Adam Neugebauer , Algebra i teoria liczb, wyd. 2, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2020 (Matematyka olimpijska), s. 203-204, ISBN 978-83-7267-710-5 (pol.).