Symbol Legendre’a

Symbol Legendre’a – funkcja ściśle multiplikatywna stosowana w teorii liczb, oznaczana $(a|p)$ lub $\left({\frac {a}{p}}\right)$.

Wprowadzony w 1798 przez Legendre’a. Jego uogólnieniem jest symbol Jacobiego.

Definicja

Niech $p>2$ będzie liczbą pierwszą. Liczbę $a$ niebędącą wielokrotnością $p$ nazwiemy resztą kwadratową modulo $p,$ jeśli istnieje liczba całkowita $t$ taka, że $a\equiv t^{2}{\pmod {p}},$ fakt ten oznaczymy $a\mathrm {R} p.$ Jeśli taka liczba $t$ nie istnieje, liczbę $a$ nazywamy nieresztą kwadratową modulo $p$, w artykule oznaczamy to jako $a\mathrm {N} p.$ Wielokrotności liczby $p$ nie zaliczamy ani do reszt ani do niereszt.

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{gdy }}a\mathrm {R} p,\\-1&{\text{gdy }}a\mathrm {N} p,\\0&{\text{gdy }}a\equiv 0{\pmod {p}}.\end{cases}}$

Czasami za dziedzinę funkcji nie przyjmuje się wielokrotności $p$.

Własności

• Jeśli $a\equiv b{\pmod {p}},$ to $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$.
• Kryterium Eulera jest użyteczne do obliczania wartości symbolu oraz jest używane do dowodzenia innych własności:

$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}$.

• Symbol Legendre’a jest funkcją ściśle multiplikatywną licznika: $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right).$ Ta własność jest wnioskiem z kryterium Eulera.
• Najważniejszą własnością jest prawo wzajemności reszt kwadratowych, zwane czasami theorema fundamentale (twierdzenie podstawowe) lub theorema aurerum (twierdzenie złote):

$p\neq q\Rightarrow \left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

• Tę własność, będącą wnioskiem z kryterium Eulera, nazywa się I uzupełnieniem prawa wzajemności:

$\left({\frac {-1}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{gdy }}p\equiv 1{\pmod {4}},\\-1&{\text{gdy }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}$

• Istnieje również II uzupełnienie prawa wzajemności:

$\left({\frac {2}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{gdy }}p\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\text{gdy }}p\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}$

Tabela wartości

Tabela przedstawia wartości funkcji dla $a\leqslant 30$ i $3\leqslant p\leqslant 127$.

a p	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
3	−1	−1	0	−1	−1	0	1	−1	−0	1	−1	0	1	−1	0	−1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	−1	−1	0	1	−1	0
5	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0
7	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1
11	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1
13	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1
17	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	0	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1
19	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	0	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1
23	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	0	1	1	1	1	−1	1	−1
29	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	0	1
31	1	1	−1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1
37	1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1
41	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	−1
43	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1
47	1	1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	1	1	−1	−1
53	1	−1	−1	1	−1	1	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1
59	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	1	−1
61	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	1	1	1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1
67	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	1	1	1	1	−1	−1	1	−1
71	1	1	1	1	1	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	1	1
73	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1
79	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	1	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1
83	1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	1	1	1
89	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	1	−1	1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	−1	−1
97	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	−1	1	−1	−1	−1
101	1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	1	−1	1	1	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	1
103	1	1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	1	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	−1	1	1	1
107	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	1
109	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	1	−1
113	1	1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	1
127	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1

Linki zewnętrzne

• Kalkulator symbolu Legendre’a
• Legendre symbol (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].