Iloczyn diadyczny

Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego) $\mathbf {u}$ z wektorem (wierszowym) $\mathbf {v} ^{T}$ tego samego wymiaru, dający tensor 2-go rzędu, np.

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}}$

Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej – iloczynu tensorowego macierzy.

Definicja ogólna

Jeżeli dane są:

(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej $\{\mathbf {e} _{i},i=1,\dots ,n\}$

(2) odpowiadająca jej baza $\{\mathbf {e} _{i}^{T},i=1,\dots ,n\}$ wektorów wierszowych

(3) wektory $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ zapisane w tych bazach

$\mathbf {u} =\sum _{i}^{n}u_{i}\mathbf {e} _{i},\quad {}$ $\mathbf {v} ^{T}=\sum _{j}^{n}v_{j}\mathbf {e} _{i}^{T},$

to iloczyn diadyczny $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ ma postać

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}=\sum _{i,j=1}^{n}u_{i}v_{j}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}^{T},$

gdzie $\mathbf {E_{ij}} =\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}^{T}$ – macierz wymiaru $n\times n,$ której element $E_{ij}=1,$ a pozostałe elementy są równe zeru. Macierze te stanowią bazę tensora, tzn. dowolny tensor rzędu 2-go można wyrazić jako kombinację liniową tych macierzy bazowych.

Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy $\mathbf {E_{ij}} ,i,j=1,2,3,$ np.

$\mathbf {E_{12}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

Twierdzenie o śladzie iloczynu diadycznego

Dowodzi się, że w ogólności słuszne jest twierdzenie

Tw. Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu

$\operatorname {tr} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T})=\mathbf {v} ^{T}\cdot \mathbf {u} .$

Przykład: Niech będą dane wektory

$\mathbf {u} ^{T}=[1,2,3],$ $\mathbf {v} ^{T}=[0,3,1].$

Ich iloczyn diadyczny wynosi

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&1\\0&6&2\\0&9&3\end{bmatrix}}$

oraz ślad macierzy wynosi

$\operatorname {tr} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T})=9$

– i jest on równy iloczynowi skalarnemu wektorów $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,$ gdyż

$\mathbf {v} ^{T}\cdot \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}0&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}=9$

Nieprzemienność iloczynu diadycznego

Przykład: Niech będą dane wektory

$\mathbf {u} ^{T}=[1,2,3],$ $\mathbf {v} ^{T}=[0,3,1].$

Ich iloczyn diadyczny $\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}$ wynosi

$\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}={\begin{bmatrix}0\\3\\1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\3&6&9\\1&2&3\end{bmatrix}}$

Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym z wcześniejszego rozdziału, widać, że iloczyn diadyczny nie jest przemienny

$\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}\neq \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}.$

Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.

Zobacz też

• iloczyn tensorowy (iloczyn Kroneckera)
• iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
• tensor

Bibliografia

• Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.