Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m robot dodaje: it:Equazione di Tolman-Oppenheimer-Volkoff |
m robot poprawia: en:Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation; zmiany kosmetyczne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa''' (równanie TOV) – szczególny przypadek [[równania Einsteina|równań Einsteina]], jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym [[ |
'''Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa''' (równanie TOV) – szczególny przypadek [[równania Einsteina|równań Einsteina]], jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym [[Równanie stanu (termodynamika)|równaniem stanu]]. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy [[gwiazda|gwiazd]] o bardzo silnym [[pole grawitacyjne|polu grawitacyjnym]] (na przykład [[gwiazda neutronowa|gwiazd neutronowych]]). |
||
==Założenia== |
== Założenia == |
||
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną [[Przestrzeń metryczna|metrykę]] sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób: |
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną [[Przestrzeń metryczna|metrykę]] sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób: |
||
:::::<math>ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\varphi^2),\, </math> |
:::::<math>ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\varphi^2),\, </math> |
||
gdzie standardowo ''t'' jest współrzędną czasową, ''r'' radialną a '' |
gdzie standardowo ''t'' jest współrzędną czasową, ''r'' radialną a ''θ'' i ''φ'' kątowymi (odpowiednio, [[Sferyczny układ współrzędnych|zenitalną i azymutalną]]). |
||
Zakładamy także, że materia jest [[lepkość|nielepka]], nie [[przewodzenie ciepła|przewodzi ciepła]] i nie wykazuje [[ścinanie|napięć ścinających]] tj. [[ |
Zakładamy także, że materia jest [[lepkość|nielepka]], nie [[przewodzenie ciepła|przewodzi ciepła]] i nie wykazuje [[ścinanie|napięć ścinających]] tj. [[tensor napięć-energii]] jest taki jak dla [[płyn doskonały|płynu doskonałego]] w [[Ogólna teoria względności|Ogólnej Teorii Względności]]. Biorąc pod uwagę barotropowe [[Równanie stanu (termodynamika)|równanie stanu]] (ciśnienie ''p'' jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ''ρ''), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ''ν(r)'': |
||
:::::<math>\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{1}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr},</math> |
:::::<math>\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{1}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr},</math> |
||
funkcją '' |
funkcją ''λ(r)'': |
||
:::::<math>e^{\lambda(r)} = \frac{1}{(1-2GM(r)/rc^2)},</math> |
:::::<math>e^{\lambda(r)} = \frac{1}{(1-2GM(r)/rc^2)},</math> |
||
a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu ''r'' a promieniem tej sfery, ''M(0)=0'': |
a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu ''r'' a promieniem tej sfery, ''M(0)=0'': |
||
:::::<math>\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.</math> |
:::::<math>\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.</math> |
||
Przy tych założeniach [[ |
Przy tych założeniach [[równania Einsteina]] redukują się do |
||
:::::<math> |
:::::<math> |
||
\frac{dP}{dr} = - \frac{GM(r)\rho(r)}{r^2} |
\frac{dP}{dr} = - \frac{GM(r)\rho(r)}{r^2} |
||
Linia 18: | Linia 18: | ||
\left(1-\frac{2GM(r)}{rc^2}\right)^{-1}, |
\left(1-\frac{2GM(r)}{rc^2}\right)^{-1}, |
||
</math> |
</math> |
||
[[ |
[[Plik:TOV_solution_neutron_quark_star_mass_radius_diagram.png|right|450px|thumb|Rozwiązanie równania TOV dla dwu reprezentatywnych równań stanu. Linia czerwona: gwiazda neutronowa (skład materii: npeμ, oddziaływanie jądrowe typu Skyrme-Lyon<ref>F. Douchin, P. Haensel, ''A unified equation of state of dense matter and neutron star structure'', Astron. Astrophys. 380, 151 (2001)</ref>. Linia niebieska: "naga" (tj. bez skorupy) gwiazda kwarkowa o równaniu stanu opisywanym modelem "worka" MIT o stałej sprzężenia α=0.17, stałej worka B=60 MeV/fm<sup>3</sup>, masie kwarku dziwnego m<sub>s</sub>=200 MeV. Kropkami zaznaczono masy maksymalne (granice TOV).]] |
||
równanie TOV jest zatem niutonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach). |
równanie TOV jest zatem niutonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach). |
||
===Warunki brzegowe=== |
=== Warunki brzegowe === |
||
Jeśli równanie opisuje [[gwiazda neutronowa|gwiazdę]] w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych: |
Jeśli równanie opisuje [[gwiazda neutronowa|gwiazdę]] w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych: |
||
* znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, ''p(R) = 0'' (warunek ten wyznacza współrzędną ''r = R'', czyli promień gwiazdy), |
* znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, ''p(R) = 0'' (warunek ten wyznacza współrzędną ''r = R'', czyli promień gwiazdy), |
||
* zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym [[Metryka Schwarzschilda|metryką Schwarzschilda]]: |
* zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym [[Metryka Schwarzschilda|metryką Schwarzschilda]]: |
||
dla '' |
dla ''r≥R'' funkcja metryczna ''e<sup>ν(r)</sup> = 1 - 2GM/rc<sup>2</sup>'', gdzie ''M'' jest całkowitą grawitacyjną masą [[gwiazda neutronowa|gwiazdy]] mierzoną przez odległego obserwatora. |
||
===Masa grawitacyjna, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej=== |
=== Masa grawitacyjna, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej === |
||
Pamiętając o tym, że element objętości ''dV'' pomiędzy sferami o promieniach ''r'' oraz ''r + dr'' jest równy |
Pamiętając o tym, że element objętości ''dV'' pomiędzy sferami o promieniach ''r'' oraz ''r + dr'' jest równy |
||
:::::<math>dV = \frac{4\pi r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,,</math> |
:::::<math>dV = \frac{4\pi r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,,</math> |
||
Linia 36: | Linia 36: | ||
:::::<math>A_b=\int_0^{R} \frac{4\pi n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \,,</math> |
:::::<math>A_b=\int_0^{R} \frac{4\pi n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \,,</math> |
||
gdzie ''n<sub>b</sub>(r)'' jest gęstością barionową tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo ''[[Femtometr|fm<sup>3</sup>]]''). ''A<sub>b</sub>'' dla [[gwiazda neutronowa|gwiazdy neutronowej]] o typowej masie grawitacyjnej 1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest rzędu 10<sup>57</sup> cząstek. |
gdzie ''n<sub>b</sub>(r)'' jest gęstością barionową tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo ''[[Femtometr|fm<sup>3</sup>]]''). ''A<sub>b</sub>'' dla [[gwiazda neutronowa|gwiazdy neutronowej]] o typowej masie grawitacyjnej 1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest rzędu 10<sup>57</sup> cząstek. |
||
[[ |
[[Plik:TOV_solution_homogeneous_star_mass_radius_diagram.png|right|450px|thumb|Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10<sup>15</sup> g/cm<sup>3</sup> (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).]] |
||
Masa barionowa (zwana również [[masa spoczynkowa|masą spoczynkową]]) jest równa liczbie barionowej ''A<sub>b</sub>'' gwiazdy mnożonej przez masę [[Barion|barionu]] |
Masa barionowa (zwana również [[masa spoczynkowa|masą spoczynkową]]) jest równa liczbie barionowej ''A<sub>b</sub>'' gwiazdy mnożonej przez masę [[Barion|barionu]] |
||
''m<sub>b</sub> |
''m<sub>b</sub>≈[[Nukleony|m<sub>n</sub>]]'': |
||
:::::<math>M_b=m_bA_b\,.</math> |
:::::<math>M_b=m_bA_b\,.</math> |
||
Różnica pomiedzy tymi masami jest analogiem [[Energia wiązania|energii wiązania]], znanej z fizyki jądrowej: |
Różnica pomiedzy tymi masami jest analogiem [[Energia wiązania|energii wiązania]], znanej z fizyki jądrowej: |
||
:::::<math>E_b=M_b-M\,.</math> |
:::::<math>E_b=M_b-M\,.</math> |
||
Dla typowego równania stanu, [[ |
Dla typowego równania stanu, [[gwiazda neutronowa]] o masie M=1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest związana energią ''E<sub>b</sub>≈0,1M''. |
||
===Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej=== |
=== Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej === |
||
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. należy otrzymać numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu |
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. należy otrzymać numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ = ''const.'' Mamy wtedy: |
||
:::::<math>M(r)=\frac{4}{3}\pi\rho r^3.</math> |
:::::<math>M(r)=\frac{4}{3}\pi\rho r^3.</math> |
||
Korzystając z tego związku równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy: |
Korzystając z tego związku równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy: |
||
:::::<math>\frac{p(r)}{\rho} = \frac{\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}-\sqrt{1-2GM/Rc^2}}{3\sqrt{1-2GM/Rc^2}-\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}}\, </math> |
:::::<math>\frac{p(r)}{\rho} = \frac{\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}-\sqrt{1-2GM/Rc^2}}{3\sqrt{1-2GM/Rc^2}-\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}}\, </math> |
||
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, ''p<sub>c</sub> = p(r=0)''. Warunek ''p<sub>c</sub> ='' |
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, ''p<sub>c</sub> = p(r=0)''. Warunek ''p<sub>c</sub> ='' ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy: |
||
:::::<math>\frac{2GM}{Rc^2}<\frac{8}{9}\, .</math> |
:::::<math>\frac{2GM}{Rc^2}<\frac{8}{9}\, .</math> |
||
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli [[Granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa|granicę TOV]]. |
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli [[Granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa|granicę TOV]]. |
||
==Historia== |
== Historia == |
||
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku [[1939]] w czasopiśmie naukowym [[Physical Review|"Physical Review"]] przez [[Robert Oppenheimer|Roberta Oppenheimera]] i [[George Michael Volkoff|Georga M. |
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku [[1939]] w czasopiśmie naukowym [[Physical Review|"Physical Review"]] przez [[Robert Oppenheimer|Roberta Oppenheimera]] i [[George Michael Volkoff|Georga M. Volkoffa]] w artykule pt. "On Massive Neutron Cores"<ref>J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, ''On Massive Neutron Cores'', Phys. Rev. 55, 374 (1939)</ref>, jednak fundamentalne znaczenie mają prace [[Richard Chace Tolman|Richarda C. Tolmana]] z roku 1934, pt. |
||
"Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"<ref>R. C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)</ref> oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"<ref>R. C. Tolman, |
"Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"<ref>R. C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)</ref> oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"<ref>R. C. Tolman, ''Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid'', Phys. Rev. 55, 364 (1939)</ref>, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk. |
||
== Przypisy == |
== Przypisy == |
||
Linia 61: | Linia 61: | ||
[[Kategoria:Teoria względności]] |
[[Kategoria:Teoria względności]] |
||
[[en: |
[[en:Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation]] |
||
[[it:Equazione di Tolman-Oppenheimer-Volkoff]] |
[[it:Equazione di Tolman-Oppenheimer-Volkoff]] |
||
[[ja:トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式]] |
[[ja:トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式]] |
Wersja z 21:08, 19 cze 2009
Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (równanie TOV) – szczególny przypadek równań Einsteina, jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym równaniem stanu. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy gwiazd o bardzo silnym polu grawitacyjnym (na przykład gwiazd neutronowych).
Założenia
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną metrykę sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:
gdzie standardowo t jest współrzędną czasową, r radialną a θ i φ kątowymi (odpowiednio, zenitalną i azymutalną). Zakładamy także, że materia jest nielepka, nie przewodzi ciepła i nie wykazuje napięć ścinających tj. tensor napięć-energii jest taki jak dla płynu doskonałego w Ogólnej Teorii Względności. Biorąc pod uwagę barotropowe równanie stanu (ciśnienie p jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ρ), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ν(r):
funkcją λ(r):
a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu r a promieniem tej sfery, M(0)=0:
Przy tych założeniach równania Einsteina redukują się do
równanie TOV jest zatem niutonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).
Warunki brzegowe
Jeśli równanie opisuje gwiazdę w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:
- znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, p(R) = 0 (warunek ten wyznacza współrzędną r = R, czyli promień gwiazdy),
- zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym metryką Schwarzschilda:
dla r≥R funkcja metryczna eν(r) = 1 - 2GM/rc2, gdzie M jest całkowitą grawitacyjną masą gwiazdy mierzoną przez odległego obserwatora.
Masa grawitacyjna, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej
Pamiętając o tym, że element objętości dV pomiędzy sferami o promieniach r oraz r + dr jest równy
wyrażenie opisujące całkowitą masę grawitacyjną M gwiazdy przyjmuje następującą postać:
Liczba barionów w gwieździe
gdzie nb(r) jest gęstością barionową tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo fm3). Ab dla gwiazdy neutronowej o typowej masie grawitacyjnej 1,4 masy Słońca jest rzędu 1057 cząstek.
Masa barionowa (zwana również masą spoczynkową) jest równa liczbie barionowej Ab gwiazdy mnożonej przez masę barionu mb≈mn:
Różnica pomiedzy tymi masami jest analogiem energii wiązania, znanej z fizyki jądrowej:
Dla typowego równania stanu, gwiazda neutronowa o masie M=1,4 masy Słońca jest związana energią Eb≈0,1M.
Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. należy otrzymać numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ = const. Mamy wtedy:
Korzystając z tego związku równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, pc = p(r=0). Warunek pc = ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli granicę TOV.
Historia
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku 1939 w czasopiśmie naukowym "Physical Review" przez Roberta Oppenheimera i Georga M. Volkoffa w artykule pt. "On Massive Neutron Cores"[2], jednak fundamentalne znaczenie mają prace Richarda C. Tolmana z roku 1934, pt. "Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"[3] oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"[4], w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.
Przypisy
- ↑ F. Douchin, P. Haensel, A unified equation of state of dense matter and neutron star structure, Astron. Astrophys. 380, 151 (2001)
- ↑ J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, On Massive Neutron Cores, Phys. Rev. 55, 374 (1939)
- ↑ R. C. Tolman, Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models, Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)
- ↑ R. C. Tolman, Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid, Phys. Rev. 55, 364 (1939)