Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (równanie TOV) – szczególny przypadek równań Einsteina, jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym równaniem stanu. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy gwiazd o bardzo silnym polu grawitacyjnym (na przykład gwiazd neutronowych).

Założenia[edytuj | edytuj kod]

Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną metrykę sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:

ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\varphi^2),\,

gdzie standardowo t jest współrzędną czasową, r radialną a θ i φ kątowymi (odpowiednio, zenitalną i azymutalną). Zakładamy także, że materia jest nielepka, nie przewodzi ciepła i nie wykazuje napięć ścinających tj. tensor napięć-energii jest taki jak dla płynu doskonałego w Ogólnej Teorii Względności. Biorąc pod uwagę barotropowe równanie stanu (ciśnienie p jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ρ), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ν(r):

\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{2}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr},

funkcją λ(r):

e^{\lambda(r)} = \frac{1}{(1-2GM(r)/rc^2)},

a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu r a promieniem tej sfery, M(0)=0:

\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.

Przy tych założeniach równania Einsteina redukują się do


\frac{dP}{dr} = - \frac{GM(r)\rho(r)}{r^2}
\left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right)
\left(1+\frac{4{\pi}r^3P(r)}{M(r)c^2}\right)
\left(1-\frac{2GM(r)}{rc^2}\right)^{-1},
Rozwiązanie równania TOV dla dwu reprezentatywnych równań stanu. Linia czerwona: gwiazda neutronowa (skład materii: npeμ, oddziaływanie jądrowe typu Skyrme-Lyon[1]. Linia niebieska: "naga" (tj. bez skorupy) gwiazda kwarkowa o równaniu stanu opisywanym modelem "worka" MIT o stałej sprzężenia α=0.17, stałej worka B=60 MeV/fm3, masie kwarku dziwnego ms=200 MeV. Kropkami zaznaczono masy maksymalne (granice TOV).

równanie TOV jest zatem niutonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).

Warunki brzegowe[edytuj | edytuj kod]

Jeśli równanie opisuje gwiazdę w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:

  • znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, p(R) = 0 (warunek ten wyznacza współrzędną r = R, czyli promień gwiazdy),
  • zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym metryką Schwarzschilda:

dla r≥R funkcja metryczna eν(r) = 1 - 2GM/rc2, gdzie M jest całkowitą grawitacyjną masą gwiazdy mierzoną przez odległego obserwatora.

Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej[edytuj | edytuj kod]

Całkowita masa grawitacyjna M gwiazdy (mierzona przez odległego obserwatora znajdującego się np. na orbicie wokół gwiazdy), występująca w metryce dla odległości większych od promienia gwiazdy R, wyraża się następującym wzorem:

M=M_g(R)=4\pi\int_0^{R} \rho(r)r^2 dr\,.

Pamiętając o tym, że element objętości dV pomiędzy sferami o promieniach r oraz r + dr jest równy

dV = \frac{4\pi r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,,

można definiować dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. Masą właściwą Mp gwiazdy nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości, biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę M(r),

M_p=M_p(R)=\int_0^{R} \rho dV = 4\pi\int_0^{R} \frac{\rho(r)r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,.

Jako, że

\frac{1}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \ge 1 \implies M_p \ge M_g\,.

Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa

A_b=4\pi\int_0^{R} \frac{ n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \,,

gdzie nb(r) jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo fm3). Ab dla gwiazdy neutronowej o typowej masie grawitacyjnej 1,4 masy Słońca jest rzędu 1057 cząstek.

Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 1015 g/cm3 (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).

Masa barionowa (zwana również masą spoczynkową) jest równa liczbie barionowej Ab gwiazdy pomnożonej przez masę barionu mbmn:

M_b=m_bA_b\,.

Zdefiniowane wyżej masy używa się do obliczenia energii wiązania. Różnica

E_G=\left(M_g-M_p\right)c^2\,.

jest energią grawitacyjną gwiazdy (energią zmagazynowaną w gwieździe, którą można odzyskać przenosząc małe elementy dm do nieskończoności). Grawitacyjna energia wiązania to

BE_G=-E_B=\left(M_p-M_g\right)c^2\,.

Energia wewnętrzna gwiazdy (energia pochodząca z równania stanu, bez uwzględnienia gęstości spoczynkowej), to

E_I=\left(M_p-M_b\right)c^2\,,

z podobnie jak poprzednio zdefiniowaną wewnętrzną energią wiązania

BE_I=-E_I=\left(M_b-M_p\right)c^2\,.

Całkowita energia wiązania gwiazdy to zatem

BE=BE_G + BE_I= \left(M_b-M_g\right)c^2\,.

Dla typowego równania stanu, gwiazda neutronowa o masie M=1,4 masy Słońca jest związana energią wiązania BE≈0,1M.

Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej[edytuj | edytuj kod]

W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne, tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. można otrzymać tylko numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ = const. Mamy wtedy:

M(r)=\frac{4}{3}\pi\rho r^3.

Korzystając z tego związku, równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:

\frac{p(r)}{\rho} = \frac{\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}-\sqrt{1-2GM/Rc^2}}{3\sqrt{1-2GM/Rc^2}-\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}}\,

Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, pc = p(r=0). Warunek pc = ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:

\frac{2GM}{Rc^2}<\frac{8}{9}\, .

Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli granicę TOV.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku 1939 w czasopiśmie naukowym "Physical Review" przez Roberta Oppenheimera i Georga M. Volkoffa w artykule pt. "On Massive Neutron Cores"[2], jednak fundamentalne znaczenie mają prace Richarda C. Tolmana z roku 1934, pt. "Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"[3] oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"[4], w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.

Przypisy

  1. F. Douchin, P. Haensel, A unified equation of state of dense matter and neutron star structure, Astron. Astrophys. 380, 151 (2001)
  2. J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, On Massive Neutron Cores, Phys. Rev. 55, 374 (1939)
  3. R. C. Tolman, Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models, Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)
  4. R. C. Tolman, Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid, Phys. Rev. 55, 364 (1939)