Równanie stanu (termodynamika)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie stanu jest związkiem między parametrami (funkcjami stanu) układu termodynamicznego, takimi jak ciśnienie P, gęstość masy \rho (w przypadku relatywistycznym gęstość masy-energii i gęstość numeryczna cząstek), temperatura T, entropia s, energia wewnętrzna u, który można zapisać w postaci następującego równania:

P = P(\rho, T, s, u...)\,.

Równanie stanu służy do opisywania właściwości mikroskopowych płynów oraz ciał stałych, takich jak ściśliwość lub sprężystość, oraz własności makroskopowych, jak np. masy i promienie gwiazd.

Gaz doskonały[edytuj | edytuj kod]

Przykładowo dla gazu doskonałego równanie stanu (Równanie Clapeyrona) ma postać

PV=nRT=k_B T N

gdzie

Stąd:

P=k_B T (N/V) = k_{B}T \rho_{N}\,

Gdzie gęstość cząstek jednorodnie zbudowanego gazu doskonałego \rho_{N} to:

\rho_{N} = \frac{N}{V}

Gęstość masy \rho to:

\rho = m \frac{N}{V} = m \rho_{N}

gdzie m to masa cząsteczkowa.

Gęstość energii \epsilon to

\epsilon = m c^{2} \frac{N}{V} = mc^{2} \rho_{N}

gdzie

  • mc^{2} – całkowita energia cząsteczki o masie m

Otrzymujemy stąd równanie stanu gazu doskonałego:

P =\frac{k_B T}{mc^2}\epsilon = K \epsilon

Równanie politropy[edytuj | edytuj kod]

Bardziej ogólną postać od równania gazu doskonałego daje równanie politropy

P = K \epsilon^{\Gamma}= K \epsilon^{1+\frac{1}{n}}

gdzie

  • nwykładnik politropy.

Równanie stanu gazu rzeczywistego[edytuj | edytuj kod]

Równanie stanu gazu rzeczywistego można przybliżać na różne sposoby, np.[1][2] (wzory dla jednego mola, n=1)

równanie postać współczynnik krytyczny \frac{p_k V_k}{R T_k} uwagi
równanie van der Waalsa \left( p + \frac{a}{V^2} \right) (V - b) = R T \frac{3}{8} = 0,375 najlepiej znane
równanie Clausiusa \left( p + \frac{a}{(V+c)^2 T} \right) (V - b) = R T
równanie Berthelota \left( p + \frac{a}{T V^2} \right) (V - b) = R T \frac{3}{8} = 0,375 lepiej niż r. v. d. W. opisuje zachowanie gazów przy niskich ciśnieniach i temperaturach wyższych od krytycznej
równanie Dietericiego p = \frac{RT}{V-b} e^{- \frac{a}{R T V}} \frac{2}{e^2} \approx 0,271 dla umiarkowanych ciśnień lepiej, dla wysokich gorzej zgadza się z doświadczeniem niż r. v. d. W.
równanie Wukałowicza-Nowikowa p V = R T \left( 1 - \frac{p C}{T^{\frac{5 + 2 m}{2}}} \right)
zaproponowane przez Callendara V - b = \frac{R T}{p} - c_0 \left( \frac{T_0}{T} \right)^n nie można go stosować w pobliżu punktu krytycznego
zaproponowane przez Beattie i Bridgemana \frac{p V}{R T} = \left( 1 - \frac{c}{V T^3} \right) \left( 1 + \frac{B_0}{V} - \frac{B_0 b}{V^2} \right) - \left( \frac{A_0}{R T V} \right) \left( 1 - \frac{a}{V} \right)

Przy czym a, b, c, C, m – stałe

Hipoteza stanów odpowiednich mówi, w odniesieniu do gazów, że dla tych samych parametrów zredukowanych gazy zachowują się tak samo, tak jak sugerują to równanie van der Waalsa, Berthelota i Dietericiego, czyli wykazują podobieństwo termodynamiczne.

Rozwinięcie wirialne:

\frac{P V}{R T} = 1 + \frac{B(T)}{V} + \frac{C(T)}{V^2} + \frac{D(T)}{V^3} + \cdots

lub

\frac{P V}{R T} = 1 + B'(T) p + C'(T) p^2 + D'(T) p^3 + \cdots

to najogólniejsza postać równania stanu gazów rzeczywistych.

Kosmologia[edytuj | edytuj kod]

Różne rodzaje materii mają różna równania stanu. Równanie stanu jest istotnym równaniem determinującym budowę i ewolucje gwiazdy.

W kosmologii równanie stanu determinuje ewolucję Wszechświata. W prostych modelach przyjmuje się, że poszczególne składniki wszechświata mają równanie stanu niezależne od temperatury, postaci

P = w \rho c^2.

Przypisy

  1. A. Hennel, W. Szuszkiewicz: Zadania i problemy z fizyki t. 2. Warszawa: PWN, 1973, s. 81, 83. ISBN 83-01-03518-8.
  2. Równanie stanu gazów rzeczywistych. W: Andrzej Kajetan Wróblewski, Janusz Andrzej Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 2. Cz. 2. Warszawa: PWN, 1991, s. 444-461. ISBN 83-01-09498-2. (pol.)