Liczby względnie pierwsze: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 22:11, 22 sty 2019

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden.
Liczby parami względnie pierwsze – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.

Fakt, że liczby $a,b,c,...d$ są względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie ${\mbox{NWD}}(a,b,c,\dots ,d)=1$ .

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej n jest liczbą liczb naturalnych między 1 a n, które są względnie pierwsze z n.

Przykłady

Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Własności

Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników, co pokazuje przykład: ${\mbox{NWD}}(4,6,9)=1,{\mbox{NWW}}(4,6,9)=36,\ 4\cdot 6\cdot 9=216$ .

Na to, aby liczby $a,b$ były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite $x$ i $y$ spełniające równanie

ax+by=1

.

Ogólniej:
Na to, aby liczby $a_{1},...,a_{n}$ były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite $k_{1},...,k_{n}$ spełniające równanie

k_{1}a_{1}+...+k_{n}a_{n}=1

.

Uogólnienie

W pierścieniu przemiennym z jedynką $R$ ideały $I$ i $J$ nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna $I+J$ jest całym pierścieniem.

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: $a$ i $b$ są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element $d$ dzieli $a$ i dzieli $b$ wynika, że $d$ jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać.

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w $\mathbb {Z}$ (bo $\mathbb {Z}$ jest dziedziną ideałów głównych).

Zobacz też

Wersja z 21:52, 10 mar 2017 edytuj Seapeys (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 2012 edycji m poprawa ujedn. i przek., WP:SK+ToS+mSK ← poprzednia edycja		Wersja z 22:11, 22 sty 2019 edytuj anuluj edycję 89.64.50.15 (dyskusja) jeden, ponieważ jedność mnie zmyliła następna edycja →
Linia 1:		Linia 1:
	'''Liczby względnie pierwsze''' – [[liczby całkowite]], których [[największy wspólny dzielnik\|największym wspólnym dzielnikiem]] jest ~~jedność~~.<br />'''Liczby parami względnie pierwsze''' – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.		'''Liczby względnie pierwsze''' – [[liczby całkowite]], których [[największy wspólny dzielnik\|największym wspólnym dzielnikiem]] jest jeden.<br />'''Liczby parami względnie pierwsze''' – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.

	Fakt, że liczby <math>a,b,c,...d</math> są względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie <math>\mbox{NWD}(a,b,c,\dots,d)=1</math>.		Fakt, że liczby <math>a,b,c,...d</math> są względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie <math>\mbox{NWD}(a,b,c,\dots,d)=1</math>.