Pierścień ideałów głównych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień ideałów głównych (także pierścień główny[1]) – pierścień komutatywny, którego każdy ideał jest ideałem głównym[2][1][3]. Jeżeli tylko skończenie generowane ideały są główne, to pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta (por. dziedzina Bézouta).

Własności[edytuj]

  • Każdy pierścień główny jest pierścieniem noetherowskim, ponieważ każdy jego ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, a zatem skończony.
  • Każde dwa elementy pierścienia ideałów głównych mają największy wspólny dzielnik , który daje się zapisać w postaci dla pewnych .
  • W pierścieniu ideałów głównych element jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest ciałem.

Przykłady[edytuj]

Pierścieniami głównymi są:

Przypisy

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.299
  2. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 9788301143886, ISBN 83-01-14388-6; s.173, definicja 126.
  3. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0; s.186

Bibliografia[edytuj]

  1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.