Stała Omega

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Stała Omega – to stała matematyczna zdefiniowana jako rozwiązanie równania:

\Omega e^{\Omega}=1

Można ją także przedstawić za pomocą funkcji W Lamberta:

\Omega=W(1)

Wynosi ona w przybliżeniu:

\Omega=0{,}567143290409783873\dots\approx0{,}57

Aby obliczyć Ω z dowolną dokładnością można skorzystać ze sposobu iteracyjnego: zgadujemy wartość Ω i oznaczamy jako Ω0, a kolejne przybliżenia daje prosty wzór:

\Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}

Należy jednak pamiętać, że wzór ten zakłada znajomość liczby e.

Przestępność i wymierność[edytuj | edytuj kod]

Dowód tego, że Ω jest niewymierne, może być uzyskany bezpośrednio z faktu, że e jest przestępne. Załóżmy, że Ω jest wymierne. Zatem istnieją liczby całkowite p i q takie, że:

\Omega={p\over q}

Zatem:

1={p e^{p/q}\over q}
e=\sqrt[p]{{q^q\over p^q}}

Więc e musiałoby być liczbą algebraiczną. Ale ponieważ e jest przestępne, zatem Ω musi być niewymierne.

Przestępność stałej Ω wynika bezpośrednio z twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa. Jeśli Ω byłaby liczbą algebraiczną, eΩ byłoby przestępne, tak samo jak e−Ω. Przeczy to przypuszczeniu, że jest ono liczbą algebraiczną (bo e−Ω = Ω).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]