Stała Omega

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Stała Omegastała matematyczna zdefiniowana jako rozwiązanie równania:

Można ją także przedstawić za pomocą funkcji W Lamberta:

Wynosi ona w przybliżeniu:

Aby obliczyć Ω z dowolną dokładnością można skorzystać ze sposobu iteracyjnego: przyjmujemy dowolną wartość dla Ω0, a kolejne przybliżenia liczby Ω daje prosty wzór:

Oczywiście uzyskana dokładność przybliżenia Ω zależy także od przyjętej dokładności liczby e.

Niewymierność i przestępność[edytuj]

Dowód tego, że Ω jest niewymierne, może być uzyskany bezpośrednio z faktu, że e jest przestępne. Załóżmy, że Ω jest wymierne. Zatem istnieją liczby całkowite p i q takie, że:

Zatem:

Zatem e musiałoby być liczbą algebraiczną. Ale ponieważ e jest przestępne, zatem Ω musi być niewymierne.

Przestępność stałej Ω wynika bezpośrednio z twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa. Jeśli Ω byłaby liczbą algebraiczną, eΩ byłoby przestępne, tak samo jak e−Ω. Przeczy to przypuszczeniu, że jest ono liczbą algebraiczną (bo e−Ω = Ω).

Zobacz też[edytuj]