Stany Landaua

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Stany Landaua – w mechanice kwantowej stany stacjonarne elektronu w jednorodnym polu magnetycznym. Energie stanów Landaua można znaleźć przez kwantyzację Bohra. Energia kinetyczna elektronu w polu magnetycznym jest równa

W polu magnetycznym elektrony poruszają się podobnie jak w modelu Bohra atomu wodoru po orbitach kołowych, kiedy to siła odśrodkowa równa jest sile Lorentza

czyli z częstością cyklotronową

Kwantyzacja Bohra natomiast narzuca warunek

Jest on inny od oryginalnego dla atomu wodoru o ponieważ pęd kanoniczny nie jest w obecności pola magnetycznego proporcjonalny do prędkości. Wstawiając ten warunek do wyrażenia na energię otrzymujemy

Wynik ten jest przesunięty od dokładnego o stałą. Ścisła analiza równania Schrödingera prowadzi do wyniku

Znaczy to że elektron w polu magnetycznym ma widmo dyskretne oscylatora harmonicznego o częstości cyklotronowej jego ruchu po okręgu.

Dokładna teoria kwantowa[edytuj | edytuj kod]

Kwantową teorię stanów Landaua można ograniczyć do dwóch wymiarów przestrzennych istotnych np. w kwantowym efekcie Halla. Hamiltonian elektronu w polu magnetycznym prostopadłym do płaszczyzny xy jest dany przez

W cechowaniu symetrycznym weźmiemy

tak, że

i Hamiltonian staje się

gdzie is operatorem z-towej składowej momentu pędu

Wynika stąd natychmiast najniższy stan Landaua

ponieważ Hamiltonian rózni się od Hamiltonianu oscylatora harmonicznego tylko o oraz

Podstawowy stan Landaua () w funkcji pola magnetycznego (czerwony wektor i czas animacji). Im silniejsze jest pole magnetyczne tym lepsza jest lokalizacja stanu.

Aby otrzymać całe spektrum Landaua, wyrazimy cały Hamiltonian poprzez odpowiednie operatory kreacji i anihilacji:

i otrzymujemy dokładny Hamiltonian oscylatora harmonicznego

gdzie

z poziomami energii

i z odpowiednimi dla tego oscylatora stanami własnymi generowanymi przez

Degeneracja stanów Landaua[edytuj | edytuj kod]

W prostej intuicyjnej teorii kwantowego efektu Halla niezbędne jest obliczenie degeneneracji każdego stanu Landaua. Ponieważ pole magnetyczne nie wyznacza jednoznacznie potencjału wektorowego, a wyżej uzyskany wynik reprezentuje stan podstawowy jako funkcję Gaussa zlokalizowaną wokół specyficznego punktu stany Landaua są zdegenerowane, tzn. jednej energii odpowiada wiele fizycznie różnych stanów możliwych do zajęcia zgodnie ze statystyką Fermiego. Potencjał wektorowy możemy dowolnie przesunąć o stałą, a pole magnetyczne pozostanie identyczne np.

Uzyskamy wtedy identyczny jak poprzednio Hamiltonian, ale z przesuniętym położeniem stanów własnych, tzn.

Ponieważ funkcja Gaussa ma skończone rozmycie stany znacząco różne będą od siebie przesunięte o i jeden stan będzie zajmował powierzchnię

W próbce o powierzchni zmieści się więc znacząco

różnych stanów, tzn. połowa liczby fluksonów w całym strumieniu magnetycznym od zewnętrznego pola. Jest to degeneracja każdego poziomu o energii Jest to też degeneracja bez spinu. Z dwoma stanami spinowymi elektronu jest to dokładnie ta liczba.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]