Energia kinetyczna

Energia kinetyczna ($E_{k}$) – energia ciała związana z ruchem jego masy. Jednostką $E_{k}$ jest dżul. W opisywalnych przez mechanikę klasyczną układach może dochodzić do przemian $E_{k}$ w energię potencjalną ($E_{p}$) i odwrotnie (przykładem takiego układu jest wahadło). Sumę $E_{k}+E_{p}$ nazywamy energią mechaniczną. Jak wynika z zasady zachowania energii $E_{k}+E_{p}$ jest w układzie stała.

W szerszym ujęciu termodynamicznym, w przypadku gdy analizując zachowanie układu mechanicznego nie można zignorować strat $E_{k}$ zachodzących np. w wyniku tarcia (z wydzieleniem ciepła, np. w przypadku tłoka), mówimy o rozproszeniu energii mechanicznej.

Mechanika klasyczna

Mechanika klasyczna

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange’a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Dla ciała o masie m i prędkości v dużo mniejszej od prędkości światła w próżni (v<<c, gdzie c jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

$E_{k}={\frac {1}{2}}\mathbb {\omega } {\hat {I}}\mathbb {\omega } ={\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}$,

gdzie:

$\mathbb {\omega }$ - prędkość kątowa,

${\hat {I}}=(I_{ij})$ - tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

$E_{k}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$,

gdzie:

I - odpowiedni moment bezwładności,

ω - prędkość kątowa.

Mechanika relatywistyczna

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła w próżni (tzw. relatywistycznych) do obliczenia energii kinetycznej stosuje się ogólniejszy wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}\,$

gdzie

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$

lub

$E_{k}=mc^{2}\left(\gamma -1\right)\,$

lub

$E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}-1\right)$

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej ${\frac {v}{c}}\,$

${\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots$

zatem:

$E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots \right)={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}mv^{4}/c^{2}+\dots$.

Dla prędkości v małych w porównaniu z prędkością światła w próżni (v≪c) można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

$E_{k}\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}$.

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej ${\hat {T}}$. Dla cząstki o masie m operator ten ma postać:

${\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}$.

gdzie ${\hat {p}}$ jest operatorem pędu.

W obrazie drugiej kwantyzacji operator energii kinetycznej dla układu cząstek o relacji dyspersji $\epsilon _{k\nu }$ ma postać

${\hat {T}}=\sum _{\mathbf {k} \nu }\epsilon _{\mathbf {k} \nu }a_{\mathbf {k} \nu }^{\dagger }a_{\mathbf {k} \nu }$,

gdzie symbol $\nu$ może oznaczać dowolny zbiór zmiennych (np. $\nu =\{\sigma \}$ dla spinu, lub $\nu =\{\sigma ,n\}$ dla spinu i pasma n).