Energia kinetyczna

Energia kinetyczna ($E_{k}$$E_{k}$) – energia ciała związana z ruchem jego masy. Jednostką $E_{k}$$E_k$ jest dżul. W opisywalnych przez mechanikę klasyczną układach może dochodzić do przemian $E_{k}$$E_k$ w energię potencjalną ($E_{p}$$E_p$) i odwrotnie (przykładem takiego układu jest wahadło). Sumę $E_{k}+E_{p}$$E_k+E_p$ nazywamy energią mechaniczną. Jak wynika z zasady zachowania energii $E_{k}+E_{p}$$E_k+E_p$ jest w układzie stała.

W szerszym ujęciu termodynamicznym, w przypadku gdy analizując zachowanie układu mechanicznego nie można zignorować strat $E_{k}$$E_{k}$ zachodzących np. w wyniku tarcia (z wydzieleniem ciepła, np. w przypadku tłoka), mówimy o rozproszeniu energii mechanicznej.

Mechanika klasyczna

Mechanika klasyczna

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange’a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Dla ciała o masie m i prędkości v dużo mniejszej od prędkości światła (v<<c, gdzie c jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$$E_k = \frac{1}{2} m v^2$

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

$E_{k}={\frac {1}{2}}\mathbb {\omega } {\hat {I}}\mathbb {\omega } ={\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}$$E_k = \frac{1}{2} \mathbb \omega \hat I \mathbb \omega = \frac{1}{2} \sum_{ij}\omega_i I_{ij} \omega_j$,

gdzie:

$\mathbb {\omega }$$\mathbb \omega$ - prędkość kątowa,

${\hat {I}}=(I_{ij})$$\hat I= (I_{ij})$ - tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

$E_{k}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$$E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$,

gdzie:

I - odpowiednim momentem bezwładności,

ω - prędkość kątowa.

Mechanika relatywistyczna

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła (tzw. relatywistycznych) do obliczenia energii kinetycznej stosuje się ogólniejszy wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}\,$$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}\,$

gdzie

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$

lub

$E_{k}=mc^{2}\left(\gamma -1\right)\,$$E_{k}=mc^{2} \left(\gamma -1 \right)\,$

lub

$E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}-1\right)$$E_k = m c^2\left( \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}-1 \right)$

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej ${\frac {v}{c}}\,$$\frac{v}{c}\,$

${\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots$$\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} = 1 + \frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots$

zatem:

$E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots \right)={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}mv^{4}/c^{2}+\dots$$E_k = mc^2 \left(\frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots\right) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8} m v^4/c^2 + \dots$.

Dla prędkości v małych w porównaniu z prędkością światła (v≪c) można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

$E_{k}\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}$$E_k \approx \frac{1}{2} m v^2$.

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej ${\hat {T}}$$\hat T$. Dla cząstki o masie m operator ten ma postać:

${\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}$$\hat T =\frac{\hat p^2}{2m}$.

gdzie ${\hat {p}}$$\hat p$ jest operatorem pędu.

W obrazie drugiej kwantyzacji operator energii kinetycznej dla układu cząstek o relacji dyspersji $\epsilon _{k\nu }$$\epsilon_{k \nu}$ ma postać

${\hat {T}}=\sum _{\mathbf {k} \nu }\epsilon _{\mathbf {k} \nu }a_{\mathbf {k} \nu }^{\dagger }a_{\mathbf {k} \nu }$$\hat T =\sum_{\mathbf k \nu} \epsilon_{\mathbf k \nu} a^\dagger_{\mathbf k \nu}a_{\mathbf k \nu}$,

gdzie symbol $\nu$$\nu$ może oznaczać dowolny zbiór zmiennych (np. $\nu =\{\sigma \}$$\nu=\{\sigma\}$ dla spinu, lub $\nu =\{\sigma ,n\}$$\nu=\{\sigma,n\}$ dla spinu i pasma n).