Topologia porządkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Topologia porządkowa - topologia wyznaczona przez porządek liniowy w pewnym zbiorze. Naturalnym przykładem topologii porządkowej jest prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały otwarte.

Konstrukcja[edytuj]

Niech będzie zbiorem co najmniej dwuelementowym liniowo uporządkowanym. Dla określamy zbiory

  • ,
  • ,
  • ,

które będziemy nazywać przedziałami. Rodzina wszystkich zbiorów tej postaci, spełnia warunki B1-B2, a więc wyznacza bazę pewnej topologii. Topologię tę nazywa się topologią przedziałową bądź topologią wyznaczoną przez rodzinę przedziałów.

Topologie porządkowe dolne i górne[edytuj]

Oczywiście rodziny , również spełniają warunki B1-B2, ale wyznaczają inne topologie. Topologie te nazywamy topologiami porządkowymi, odpowiednio, dolną i górną.

Własności[edytuj]

  • Jeżeli zbiór liniowo uporządkowany w sposób gęsty zawiera przeliczalny podzbiór gęsty oraz wprowadzimy w tym zbiorze topologię porządkową, to ma ona ciężar przeliczalny. Istotnie, poniższa rodzina przedziałów jest przeliczalną bazą tej topologii:
.

Zobacz też[edytuj]