Porządek liniowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ilustracja porządku liniowego

Porządek liniowyczęściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Porządek liniowy to porządek częściowy na danym zbiorze spełniający warunek spójności

Parę uporządkowaną nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym lub też zbiorem całkowicie uporządkowanym. Symbol będzie oznaczał porządek ostry, tzn. relację zdefiniowaną wzorem

Podzbiór zbioru nazywa się

  • gęstym, jeśli zachodzi
  • ograniczonym z góry, jeśli

Mówi się, że jest

  • porządkiem bez końców, jeśli w nie ma tak elementu najmniejszego, jak i największego, tzn. jeśli zachodzi
    oraz
  • porządkiem relatywnie zupełnym, jeśli każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór ma kres górny. Wtedy także każdy niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
  • porządkiem gęstym, jeśli jest gęstym podzbiorem

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli jest porządkiem liniowym na zbiorze oraz to zawężenie porządku do zbioru jest porządkiem liniowym na
  • Georg Cantor udowodnił następujące twierdzenie: każdy przeliczalny gęsty porządek liniowy bez końców jest izomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem).
  • Przypuśćmy że jest gęstym porządkiem liniowym bez końców. Wówczas istnieje relatywnie zupełny porządek liniowy bez końców taki że
    i zawężenie zgadza się z oraz jest gęstym podzbiorem
Porządek jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

Działania[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn leksykograficzny[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Niech będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego oraz niech będzie iloczynem kartezjańskim. Iloczynem leksykograficznym porządków nazywa się porządek liniowy w zdefiniowany wzorem

gdzie będzie pierwszym elementem w dla którego dla dowolnych

Okazuje się, że iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zachowuje dobry porządek: iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zbiorów uporządkowanych liniowo i dobrze jest zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Natomiast iloczyn leksykograficzny nieskończonej rodziny zbiorów liniowo uporządkowanych, z których każdy jest co najmniej dwuelementowy, nigdy nie jest uporządkowany dobrze.

Ultraprodukt[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: ultraprodukt.

Niech będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Niech będzie dowolnym maksymalnym filtrem (czyli ultrafiltrem) w o pustym przecięciu. Niech ponadto będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego oraz niech będzie ultraproduktem rodziny zbiorów względem ultrafiltru W ultraprodukcie definiujemy porządek liniowy jak następuje:

dla dowolnych gdzie oznacza klasę elementu

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

W wielu dziedzinach matematyki rozważa się relację porządku liniowego jako „dodatek” do innych struktur albo jako „narzędzie” do konstruowania przykładów rozważanych struktur.

Przedziałowe algebry Boole’a[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie porządkiem liniowym, w którym istnieje element najmniejszy. Niech dla symbol oznacza zbiór tzn. przedział lewostronnie domknięty w

Niech będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych wszystkich podzbiorów które mogą być przedstawione w postaci dla pewnych elementów spełniających nierówności gdzie Wówczas jest ciałem podzbiorów Algebra Boole’a jest nazywana algebrą przedziałową wyznaczoną przez

Topologia porządkowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: topologia porządkowa.

Niech będzie jest porządkiem liniowym. Niech dla symbol oznacza przedział otwarty w tzn. zbiór postaci Wówczas rodzina

pokrywa i jest zamknięta ze względu na branie przekrojów skończonych. Dlatego też jest bazą pewnej topologii na Topologię tę nazywa się topologią porządkową lub topologią przedziałową. Topologia porządkowa zawsze spełnia aksjomat Hausdorffa (T2) i jest nawet przestrzenią T5[1].

Struktury algebraiczne[edytuj | edytuj kod]

W algebrze rozważa się czasami struktury algebraiczne dodatkowo wyposażone w relację porządku liniowego w pewnym sensie zgodnego z operacjami algebraicznymi.

  • Grupa liniowo uporządkowana to trójka taka, że jest grupą, a jest porządkiem liniowym na przy czym
    dla dowolnych jeśli to zarówno jak i
  • Ciało uporządkowane to szóstka uporządkowana gdzie jest ciałem, a jest porządkiem liniowym na w którym dla dowolnych spełnione są warunki:
jeśli to
oraz
jeśli i to

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Steen-Seebach, Counterexamples in topology.