Porządek liniowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja porządku liniowego

Porządek liniowyczęściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Definicje[edytuj]

Porządek liniowy to porządek częściowy na danym zbiorze spełniający warunek spójności

.

Parę uporządkowaną nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym lub też zbiorem całkowicie uporządkowanym. Symbol będzie oznaczał porządek ostry, tzn. relację zdefiniowaną wzorem

.

Podzbiór zbioru nazywa się

  • gęstym, jeśli zachodzi
  • ograniczonym z góry, jeśli
    .

Mówi się, że jest

  • porządkiem bez końców, jeśli w nie ma tak elementu najmniejszego jak i największego, tzn. jeśli zachodzi
    oraz
  • porządkiem relatywnie zupełnym, jeśli każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór ma kres górny. Wtedy także każdy niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
  • porządkiem gęstym, jeśli jest gęstym podzbiorem .

Przykłady[edytuj]

.

Własności[edytuj]

  • Jeśli jest porządkiem liniowym na zbiorze oraz to zawężenie porządku do zbioru jest porządkiem liniowym na
  • Georg Cantor udowodnił następujące twierdzenie: każdy przeliczalny gęsty porządek liniowy bez końców jest izomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem).
  • Przypuśćmy że jest gęstym porządkiem liniowym bez końców. Wówczas istnieje relatywnie zupełny porządek liniowy bez końców taki że
    i zawężenie zgadza się z oraz jest gęstym podzbiorem .
Porządek jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

Działania[edytuj]

Iloczyn leksykograficzny[edytuj]

Niech będzie zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Niech będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego oraz niech będzie iloczynem kartezjańskim. Iloczynem leksykograficznym porządków nazywa się porządek liniowy w zdefiniowany wzorem

gdzie będzie pierwszym elementem w dla którego dla dowolnych

Okazuje się, że iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zachowuje dobry porządek: iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zbiorów uporządkowanych liniowo i dobrze jest zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Natomiast iloczyn leksykograficzny nieskończonej rodziny zbiorów liniowo uporządkowanych, z których każdy jest co najmniej dwuelementowy, nigdy nie jest uporządkowany dobrze.

Ultraprodukt[edytuj]

 Zobacz też: ultraprodukt.

Niech będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Niech będzie dowolnym maksymalnym filtrem (czyli ultrafiltrem) w o pustym przecięciu. Niech ponadto będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego oraz niech będzie ultraproduktem rodziny zbiorów względem ultrafiltru . W ultraprodukcie definiujemy porządek liniowy jak następuje:

dla dowolnych , gdzie oznacza klasę elementu .

Zastosowania[edytuj]

W wielu dziedzinach matematyki rozważa się relację porządku liniowego jako „dodatek” do innych struktur albo jako „narzędzie” do konstruowania przykładów rozważanych struktur.

Przedziałowe algebry Boole'a[edytuj]

Niech będzie porządkiem liniowym, w którym istnieje element najmniejszy. Niech dla symbol oznacza zbiór , tzn. przedział lewostronnie domknięty w

Niech będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych wszystkich podzbiorów które mogą być przedstawione w postaci dla pewnych elementów spełniających nierówności , gdzie . Wówczas jest ciałem podzbiorów . Algebra Boole'a jest nazywana algebrą przedziałową wyznaczoną przez .

Topologia porządkowa[edytuj]

 Osobny artykuł: topologia porządkowa.

Niech będzie jest porządkiem liniowym. Niech dla symbol oznacza przedział otwarty w , tzn. zbiór postaci Wówczas rodzina

pokrywa i jest zamknięta ze względu na branie przekrojów skończonych. Dlatego też jest bazą pewnej topologii na . Topologię tę nazywa się topologią porządkową lub topologią przedziałową. Topologia porządkowa zawsze spełnia aksjomat Hausdorffa (T2) i jest nawet przestrzenią T5.[1]

Struktury algebraiczne[edytuj]

W algebrze rozważa się czasami struktury algebraiczne dodatkowo wyposażone w relację porządku liniowego w pewnym sensie zgodnego z operacjami algebraicznymi.

  • Grupa liniowo uporządkowana to trójka taka, że jest grupą, a jest porządkiem liniowym na , przy czym
    dla dowolnych jeśli to zarówno jak i .
  • Ciało uporządkowane to szóstka uporządkowana gdzie jest ciałem, a jest porządkiem liniowym na , w którym dla dowolnych spełnione są warunki:
jeśli to
oraz
jeśli i to

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Steen-Seebach, Counterexamples in topology