Przestrzeń T1

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń – termin topologiczny odnoszący się do jednego ze słabszych aksjomatów oddzielania. Dawniej przestrzenie spełniające ten warunek były nazywane też przestrzeniami Frécheta, ale wydaje się, że dzisiaj ta druga nazwa jest używana głównie w innym znaczeniu.

Definicja[edytuj]

Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest , jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów przestrzeni istnieje taki zbiór otwarty , że , ale .

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń jest przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jednopunktowy podzbiór jest domknięty.

Przykłady i własności[edytuj]

  • Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest , zwykle przestrzenie nie będące uważa się za „bardzo patologiczne”. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne. Każda przestrzeń dyskretna jest ; w szczególności każda skończona przestrzeń jest dyskretna.
  • Każda przestrzeń T2 jest przestrzenią .
  • Istnieją przestrzenie , które nie są . Zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych (w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty i zbiory, których dopełnienie jest skończone, np. , ) jest przestrzenią T1, ale nie T2; podobnie jest z analogicznie definiowaną topologią Zariskiego, czyli topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.
  • Każda przestrzeń jest przestrzenią T0, lecz istnieją przestrzenie , które nie są . Na przykład zbiór wyposażony w topologię (przestrzeń 2-punktowa Aleksandrowa) jest przestrzenią , ale nie .
  • Podzbiór przestrzeni traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią . Własność być przestrzenią jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni jest przestrzenią .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]