Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych – twierdzenie analizy zespolonej wiążące zbieżność szeregu potęgowego w punkcie brzegu koła zbieżności ze zbieżnością funkcji reprezentowanej przez szereg wewnątrz koła dla argumentów zbieżnych do tego punktu po pewnej drodze udowodnione przez norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela.

Sformułowanie[edytuj]

Niech będzie ciągiem zespolonym: . Jeżeli szereg jest zbieżny oraz funkcja zespolona określona w kole jednostkowym jest dana wzorem to wówczas , gdy dąży do 1 po drodze zawartej pomiędzy dwiema cięciwami koła zbieżności wychodzącymi z punktu 1.

Uwagi: Przykładem takiej drogi może być odcinek otwarty . Przypadek dowolnego skończonego promienia zbieżności i punktu z jego brzegu może być sprowadzony do promienia 1 i punktu 1.

Dowód[edytuj]

Oznaczając przez sumy częściowe szeregu , a przez jego sumę i korzystając z przekształcenia Abela można zapisać:

Zgodnie ze wzorem na granicę szeregu geometrycznego: , a zatem:

Ze zbieżności szeregu wynika, że można dobrać takie , by dla każdego było dostatecznie małe (mniejsze od ustalonego ).

Suma pierwszych wyrazów szeregu jest dla dowolnego z koła zbieżności ograniczona przez stałą . Ponieważ dla dostatecznie bliskich 1 jest dowolnie małe, wyrażenie dąży do zera.

Korzystamy z potęgi punktu 1 względem okręgu o środku 0 przechodzącego przez z dla prostych przechodzących przez (wtedy jeden z odcinków ma długość ) i 0 (wtedy jeden z odcinków ma długość ).

Wnioskujemy, że jeśli leży pomiędzy pewnymi cięciwami (można zakładać, że cięciwy są symetryczne względem , bo zmiana cięciwy pod mniejszym kątem na symetryczną do drugiej zwiększa obszar zawarty między nimi), a , gdzie to promień okręgu o środku 0 stycznego do obu cięciw (dla dostatecznie bliskich 1 można tak zakładać), to zachodzi nierówność:

gdzie jest długością odcinka pomiędzy 1 a punktem styczności cięciwy.

Dla zachodzi:

i ze względu na ograniczoność i dowolność wyboru , wyrażenie może być dowolnie małe. Zatem również jest dla dostatecznie bliskich 1 dowolnie małe.

Bibliografia[edytuj]

  1. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1973.

Linki zewnętrzne[edytuj]