Twierdzenie Berry-Essena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Berry’ego-Esseena – twierdzenie rachunku prawdopopdobieństwa, które daje pewne oszacowanie szybkości zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Centralne twierdzenie graniczne (w wersji dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie) mówi w istocie, że

gdy . Naturalnym jest pytanie o odległość tych dwóch funkcji w normie supremum i badanie jak maleje ona wraz z . Całkiem satysfakcjonującą odpowiedź na nie daje nierówność Berry’ego-Esseena: jedynym dodatkowym wymaganiem jest skończoność trzeciego momentu modułu zmiennej.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi określonymi na wspólnej przestrzeni probabilistycznej, że

  • ,
  • ,
  • dla każdego .

Wówczas istnieje taka stała , że

.

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

Jako wniosek można przedstawić nieco inne, niekiedy dogodniejsze, sformułowanie twierdzenia.

Niech będą jednakowymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wariancji równej i dla których .

Wówczas

[1].

Dowód wniosku[edytuj | edytuj kod]

Niech , przez co

.

Zmienne spełniają wtedy założenia twierdzenia i zastosowanie go daje tezę wniosku, gdyż

.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Stała L jest szacowana z coraz większą dokładnością, poczynając od (von Beek, 1972[2]), przez (Shiganov, 1986 [3]), (Shevtsova, 2007[4]), (Shevtsova, 2008[5]), aż do w przypadku ogólnym oraz dla sumy zmiennych o takich samych rozkładach (Tyurin, 2009[6]).

Oszacowanie jest asymptotycznie dobre, istnieje przykład pokazujący, że stała z twierdzenia musi spełniać nierówność

.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ prawdziwość twierdzenia Berry’ego-Esseena ze stałą implikuje prawdziwość wniosku dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych ze stałą to dla wskazania kontrprzykładu dla pewnej stałej wystarczy wskazać kontrprzykład dla tej stałej dla wniosku.

Niech będą jednakowymi, niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że . Wówczas . Niech .

Wówczas

Ze wzoru Stirlinga wynika

.

Zatem

.

Stąd zaś

,

co jest oszacowaniem dolnym , które wynosi .

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Yu.V. Prokhorov, V. Statulevicius: Limit Theorems of Probability Theory. Springer Science & Business Media, 2013, s. 4.
  2. P. van Beek, An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry–Esseen inequality, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, 1972
  3. I.S. Shiganov, Refinement of the upper bound of a constant in the remainder term of the central limit theorem, Journal of Soviet mathematics, 1986
  4. I. G. Shevtsova, Sharpening of the upper bound of the absolute constant in the Berry–Esseen inequality, Theory of Probability and its Applications, 2007
  5. I. G. Shevtsova, On the absolute constant in the Berry-Esseen inequality, The Collection of Papers of Young Scientists of the Faculty of Computational Mathematics and CyberneticsTheory of Probability and its Applications 2008
  6. I.S. Tyurin, On the accuracy of the Gaussian approximation, Doklady Mathematics 2009