Twierdzenie Berry-Essena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Berry-Essena pozwala na szacowanie szybkości zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym.

Motywacja[edytuj]

Zauważmy, że centralne twierdzenie graniczne (dla przypadku jednakowych zmiennych losowych) w istocie mówi, że przy . Naturalnym jest pytanie o odległość tych dwóch funkcji w normie supremum i badanie jak maleje ona z -em. Odpowiedzi dostarcza nierówność Berry-Essena i to w formie nieco ogólniejszej. Jedynym dodatkowym wymaganiem jest skończoność trzeciego momentu modułu zmiennej.

Twierdzenie[edytuj]

Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi, , oraz . Wówczas istnieje stała taka, że .

Wniosek[edytuj]

Można jako wniosek przedstawić nieco inne sformułowanie twierdzenia, dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych. Niech będą jednakowymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wariancji równej oraz takimi, że . Wówczas[1]

Dowód wniosku[edytuj]

Niech , wówczas . Wówczas zmienne spełniają założenia twierdzenia i zastosowanie go daje tezę wniosku, gdyż .

Uwagi[edytuj]

Stała L jest szacowana z coraz większą dokładnością, poczynając od (von Beek, 1972[2]), przez (Shiganov, 1986 [3]), (Shevtsova, 2007[4]), (Shevtsova, 2008[5]), aż do w przypadku ogólnym oraz dla sumy zmiennych o takich samych rozkładach (Tyurin, 2009[6]).

Oszacowanie jest asymptotycznie dobre, istnieje przykład pokazujący, że stała z twierdzenia musi spełniać nierówność .

Przykład[edytuj]

Ponieważ prawdziwość twierdzenia Berry-Essena ze stałą implikuje prawdziwość wniosku dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych ze stałą to dla wskazania kontrprzykładu dla pewnej stałej wystarczy wskazać kontrprzykład dla tej stałej dla wniosku.

Niech będą jednakowymi, niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że . Wówczas . Niech .

Wówczas .

Ze wzoru Stirlinga wiemy, że . Zatem .

Dostajemy zatem , czyli mamy dolne oszacowanie na równe .

Linki zewnętrzne[edytuj]

Przypisy

  1. Yu.V. Prokhorov, V. Statulevicius: Limit Theorems of Probability Theory. Springer Science & Business Media, 2013, s. 4.
  2. P. van Beek, An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry–Esseen inequality, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, 1972
  3. I.S. Shiganov, Refinement of the upper bound of a constant in the remainder term of the central limit theorem, Journal of Soviet mathematics, 1986
  4. I. G. Shevtsova, Sharpening of the upper bound of the absolute constant in the Berry–Esseen inequality, Theory of Probability and its Applications, 2007
  5. I. G. Shevtsova, On the absolute constant in the Berry-Esseen inequality, The Collection of Papers of Young Scientists of the Faculty of Computational Mathematics and CyberneticsTheory of Probability and its Applications 2008
  6. I.S. Tyurin, On the accuracy of the Gaussian approximation, Doklady Mathematics 2009