Centralne twierdzenie graniczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej
Rozkład prawdopodobieństwa średniej dwóch takich niezależnych zmiennych
Rozkład prawdopodobieństwa średniej trzech takich niezależnych zmiennych
Rozkład prawdopodobieństwa średniej czterech takich niezależnych zmiennych. Jest już bardzo zbliżony do rozkładu normalnego.

Centralne twierdzenie graniczne – jedno z najważniejszych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, uzasadniające powszechne występowanie w przyrodzie rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego.

Teza[edytuj kod]

Sformułowanie szczególne[edytuj kod]

Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej i skończonej wariancji , to zmienna losowa o postaci

zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego gdy rośnie do nieskończoności.

Sformułowanie ogólne[edytuj kod]

Centralne twierdzenie graniczne znane też pod nazwą Twierdzenie Lindeberga-Lévy'ego orzeka:

Niech będzie schematem serii, w którym dla i dla każdego mamy . Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego zachodzi , to .

Dowód[edytuj kod]

Dowodów Centralnego Twierdzenia Granicznego w wersji ogólnej jest kilka. Wszystkie są dość skomplikowane i wymagają korzystania z wielu zaawansowanych narzędzi matematycznych. Poniżej znajduje się jeden z prostszych dowodów, nie dający jednak oszacowania wartości błędu.

Pierwszym krokiem dowodu jest sformułowanie i udowodnienie użytecznych lematów.

Lemat 1

Niech będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że zachodzi oraz . Wówczas:

  • a)
  • b) .

Dowód

Oznaczmy . Wówczas .

Ustalmy dowolne . Wówczas zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a istnieją takie , że:

Na tej samej zasadzie:

.

Lemat 2

Jeżeli , to

Dowód

Dokonujemy podstawienia :

Teraz całkujemy przez części:

.

Drugi krok polega na oszacowaniu pewnej wartości:

Niech będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że oraz .

Rozważamy niezależne zmienne o rozkładzie normalnym takie, że oraz .

Wówczas :

.

Przy czym ostatnia nierówność to nierówność trójkąta.

Drugi ze składników daje się na podstawie Lematu 1 oszacować w sposób następujący:

.

Tymczasem , gdzie . W związku z tym (korzystając z Lematu 2):

.

Wobec tego

.

Pierwszy ze składników można natomiast oszacować w sposób następujący:

.

Z kolei szacujemy:

oraz

.

Ostatnia nierówność wynika z Lematu 1.

Zatem mamy następujące oszacowanie:

.

Trzeci krok polega na wielokrotnym zastosowaniu oszacowania uzyskanego powyżej.

.

Rozpatrzmy -ty z powyższych wyrazów.

Podstawiamy

.

Zmienna jest niezależna od i . Wobec tego:

.

Zatem:

. Pierwszy i ostatni składnik z warunku Lindeberga zbiegają do zera, gdy dąży do nieskończoności. W związku z tym:

.

Oznacza to, że:

, gdzie .

Czwarty krok polega na wyliczenie dystrybuanty granicznej na podstawie powyższych oszacowań.

Weźmy funkcję spełniającą warunek dla pewnych .

Wówczas:

.

Ale:

oraz

.

W związku z tym:

oraz podobnie

.

Otrzymujemy więc

.

Ale z ciągłości dystrybuanty rozkładu normalnego wnioskujemy, że

.

Ponieważ punktowa zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości dystrybuanty granicznej jest równoważna zbieżności według rozkładu, więc ostatecznie:

.

Częste nieporozumienia[edytuj kod]

  • Centralne twierdzenie graniczne nie sprawi, by przy dostatecznie dużej próbie rozkład stał się normalny. Jedynie rozkład średniej z tej próby upodabnia się do normalnego.
  • Centralne twierdzenie graniczne jest prawdziwe tylko dla rozkładów o skończonej wariancji. Zobacz stabilność struktury.

Zobacz też[edytuj kod]