Pierwszym krokiem dowodu jest sformułowanie i udowodnienie użytecznych lematów.
Lemat 1
Niech będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że zachodzi oraz Wówczas:
- a)
 
- b)

Dowód
Oznaczmy Wówczas
Ustalmy dowolne Wówczas zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego istnieją takie że:
     
Na tej samej zasadzie:
  
Lemat 2
Jeżeli to

Dowód
 
Dokonujemy podstawienia
 
Teraz całkujemy przez części:
  
Drugi krok polega na oszacowaniu pewnej wartości:
Niech będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że oraz
Rozważamy niezależne zmienne o rozkładzie normalnym takie, że oraz
Wówczas:

 
 ![{\displaystyle {}-{\frac {f''(x)}{2!}}X_{n,k}^{2}{\Big ]}-E{\Big [}f(x+G_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot G_{n,k}-{\frac {f''(x)}{2!}}G_{n,k}^{2}{\Big ]}{\Bigg |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa359c841acf4ffe9564c2ee8252804ba430ebc)
 
Przy czym ostatnia nierówność to nierówność trójkąta.
Drugi ze składników daje się na podstawie Lematu 1 oszacować w sposób następujący:
 
Tymczasem gdzie W związku z tym (korzystając z Lematu 2):
 
Wobec tego
 
Pierwszy ze składników można natomiast oszacować w sposób następujący:
   
Z kolei szacujemy:
  
oraz
  
Ostatnia nierówność wynika z Lematu 1.
Zatem mamy następujące oszacowanie:
 
Trzeci krok polega na wielokrotnym zastosowaniu oszacowania uzyskanego powyżej.
   
Rozpatrzmy -ty z powyższych wyrazów.
Podstawiamy

Zmienna jest niezależna od i Wobec tego:
        
Zatem:

   
Pierwszy i ostatni składnik z warunku Lindeberga zbiegają do zera, gdy dąży do nieskończoności. W związku z tym:

Oznacza to, że:
 gdzie 
Czwarty krok polega na wyliczenie dystrybuanty granicznej na podstawie powyższych oszacowań.
Weźmy funkcję spełniającą warunek  dla pewnych
Wówczas:

Ale:
![{\displaystyle Ef(X_{n,1}+\ldots +X_{n,n}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}Ef(G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbb42afe2ab1d867d7204aaf970a34eb58ee13a)
oraz

W związku z tym:
 ![{\displaystyle {}\geqslant P(G\geqslant t+\delta ){\xrightarrow[{\delta \to 0^{+}}]{}}P(G\geqslant t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a996cb7f7d7bc587ab81ca75467ed8e276a43c)
oraz podobnie
 ![{\displaystyle {}\leqslant P(G\geqslant t-\delta ){\xrightarrow[{\delta \to 0^{+}}]{}}P(G\geqslant t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f5e2d97b38705b5f0ca6c7e34e008c6599ca94)
Otrzymujemy więc
![{\displaystyle P(X_{n,1}+\ldots +X_{n,n}\geqslant t){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c4ed387bacb435c73c727bfa44466ffe96378f) ![{\displaystyle P(G\geqslant t)\Rightarrow P(X_{n,1}+\ldots +X_{n,n}<t){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}P(G<t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f428bbbd5ee129858adcdf87fb9ae7c1a5a4873)
Ale z ciągłości dystrybuanty rozkładu normalnego wnioskujemy, że
![{\displaystyle P(X_{n,1}+\ldots +X_{n,n}\leqslant t){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}P(G\leqslant t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afebc5d4d9c5e3fa548166e23f4c1dc3965c7895)
Ponieważ punktowa zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości dystrybuanty granicznej jest równoważna zbieżności według rozkładu, więc ostatecznie:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{n,k}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{D}}N(0,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef43cb8c7ad8353cd10e88b2d0a9fba58953abb8)

|