Przejdź do zawartości

Centralne twierdzenie graniczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej
Rozkład prawdopodobieństwa średniej dwóch takich niezależnych zmiennych
Rozkład prawdopodobieństwa średniej trzech takich niezależnych zmiennych
Rozkład prawdopodobieństwa średniej czterech takich niezależnych zmiennych. Jest już bardzo zbliżony do rozkładu normalnego.

Centralne twierdzenie graniczne – twierdzenie probabilistyki o zbieżności pewnych ciągów zmiennych losowych do rozkładu normalnego[1]. Wyjaśnia ono powszechność w przyrodzie zbliżonych do niego rozkładów prawdopodobieństwa.

Wersje

[edytuj | edytuj kod]

Sformułowanie szczególne

[edytuj | edytuj kod]

Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli niezależnymi zmiennymi losowymi pochodzącymi z tej samej populacji o wartości oczekiwanej oraz dodatniej i skończonej wariancji to ciąg zmiennych losowych, w postaci znormalizowanych wartości oczekiwanych

zbieżny jest według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego, gdy

Tzn.

Sformułowanie ogólne

[edytuj | edytuj kod]

Centralne twierdzenie graniczne znane też pod nazwą twierdzenia Lindeberga-Lévy’ego mówi:

Niech będzie schematem serii, w którym dla i dla każdego mamy Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego zachodzi to

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Dowodów centralnego twierdzenia granicznego w wersji ogólnej jest kilka. Wszystkie są dość skomplikowane i wymagają korzystania z wielu zaawansowanych narzędzi matematycznych. Poniżej znajduje się jeden z prostszych dowodów, nie dający jednak oszacowania wartości błędu.

Częste nieporozumienia

[edytuj | edytuj kod]
  • Centralne twierdzenie graniczne nie sprawi, by przy dostatecznie dużej próbie rozkład stał się normalny. Jedynie rozkład średniej z tej próby upodabnia się do normalnego.
  • Centralne twierdzenie graniczne jest prawdziwe tylko dla rozkładów o skończonej wariancji. Zobacz stabilność struktury.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]