Centralne twierdzenie graniczne

Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej

Rozkład prawdopodobieństwa średniej dwóch takich niezależnych zmiennych

Rozkład prawdopodobieństwa średniej trzech takich niezależnych zmiennych

Rozkład prawdopodobieństwa średniej czterech takich niezależnych zmiennych. Jest już bardzo zbliżony do rozkładu normalnego.

Centralne twierdzenie graniczne – jedno z najważniejszych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, uzasadniające powszechne występowanie w przyrodzie rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego.

Teza

Sformułowanie szczególne

Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli $X_{i}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej $\mu$ oraz dodatniej i skończonej wariancji $\sigma ^{2},$ to zmienna losowa o postaci

${\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$

zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego, gdy $n$ rośnie do nieskończoności.

Sformułowanie ogólne

Centralne twierdzenie graniczne znane też pod nazwą twierdzenia Lindeberga-Lévy’ego mówi:

Niech $(X_{n,k})$ będzie schematem serii, w którym $EX_{n,k}=0$ dla $k\leqslant n$ i dla każdego $n$ mamy $\sum _{k=1}^{n}D^{2}X_{n,k}=1.$ Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego $\epsilon >0$ zachodzi $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}EX_{n,k}^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|>\epsilon \}}=0,$ to $\sum _{k=1}^{n}X_{n,k}{\xrightarrow {D}}N(0,1).$

Dowód

Dowodów centralnego twierdzenia granicznego w wersji ogólnej jest kilka. Wszystkie są dość skomplikowane i wymagają korzystania z wielu zaawansowanych narzędzi matematycznych. Poniżej znajduje się jeden z prostszych dowodów, nie dający jednak oszacowania wartości błędu.

Pierwszym krokiem dowodu jest sformułowanie i udowodnienie użytecznych lematów.

Lemat 1

Niech $f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że $\forall x\in \mathbf {R}$ zachodzi $|f'''(x)|\leqslant A$ oraz $|f''(x)|\leqslant B.$ Wówczas: $\forall x,y\in \mathbf {R}$

• a) ${\Bigg |}f(x+y)-f(x)-f'(x)y-{\frac {f''(x)y^{2}}{2!}}{\Bigg |}$${}\leqslant {\frac {A|y|^{3}}{3!}},$
• b) ${\bigg |}f(x+y)-f(x)-f'(y){\bigg |}\leqslant {\frac {By^{2}}{2!}}.$

Dowód

Oznaczmy $\varphi _{x}(y)=f(x+y)-f(x)-f'(x)y-{\frac {f''(x)y^{2}}{2!}}.$ Wówczas $\varphi _{x}(0)=0,\varphi _{x}'(0)=0,\varphi _{x}''(0)=0.$

Ustalmy dowolne $y>0.$ Wówczas zgodnie z twierdzeniem Lagrange’a istnieją takie $z,t,w>0,$ że:

${\Bigg |}{\frac {\varphi _{x}(y)}{y^{3}}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\frac {\varphi _{x}(y)-\varphi _{x}(0)}{y^{3}-0}}{\Bigg |}$${}={\Bigg |}{\frac {\varphi _{x}'(z)}{3z^{2}}}{\Bigg |}$${}={\Bigg |}{\frac {\varphi _{x}'(z)-\varphi _{x}'(0)}{3z^{2}-3\cdot 0^{2}}}{\Bigg |}$${}={\Bigg |}{\frac {\varphi _{x}''(t)}{6t}}{\Bigg |}$${}={\Bigg |}{\frac {\varphi _{x}''(t)-\varphi _{x}''(0)}{6t-6\cdot 0}}{\Bigg |}$${}={\Bigg |}{\frac {\varphi _{x}'''(w)}{6}}{\Bigg |}\leqslant {\frac {A}{6}}.$

Na tej samej zasadzie:

${\Bigg |}{\frac {\varphi _{x}(y)}{y^{2}}}{\Bigg |}$${}={\Bigg |}{\frac {\varphi _{x}''(t)}{2}}{\Bigg |}$${}\leqslant {\frac {B}{2}}.$ $\Box$

Lemat 2

Jeżeli $X\sim N(0,1),$ to

$E|X|^{3}=\int \limits _{R}|x|^{3}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx={\frac {4}{\sqrt {2\pi }}}.$

Dowód

$E|X|^{3}=\int \limits _{R}|x|^{3}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx$${}={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }x^{3}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx.$

Dokonujemy podstawienia $x^{2}=t\Rightarrow dx={\frac {dt}{2x}}{:}$

$E|X|^{3}={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }txe^{-{\frac {t}{2}}}{\frac {dt}{2x}}$${}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }te^{-{\frac {t}{2}}}dt.$

Teraz całkujemy przez części:

$E|X|^{3}=-{\frac {2t}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t}{2}}}{\Bigg |}_{0}^{+\infty }+{\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {t}{2}}}dt$${}=-{\frac {4}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t}{2}}}{\Bigg |}_{0}^{+\infty }$${}={\frac {4}{\sqrt {2\pi }}}.$ $\Box$

Drugi krok polega na oszacowaniu pewnej wartości:

Niech $f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ,f\in C^{3}(\mathbf {R} )$ będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że $|f'''(x)|\leqslant A\;\forall x\in \mathbf {R}$ oraz $|f''(x)|\leqslant B\;\forall x\in \mathbf {R} .$

Rozważamy niezależne zmienne $(G_{n,k})$ o rozkładzie normalnym takie, że $\forall n,k\;EG_{n,k}=0$ oraz $D^{2}G_{n,k}=D^{2}X_{n,k}.$

Wówczas:

$\forall x\in \mathbf {R} \;{\Bigg |}Ef(x+X_{n,k})-Ef(x+G_{n,k}){\Bigg |}$${}={\Bigg |}Ef(x+X_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot EX_{n,k}$${}-{\frac {f''(x)}{2!}}EX_{n,k}^{2}-Ef(x+G_{n,k})+f(x)+f'(x)\cdot EG_{n,k}+{\frac {f''(x)}{2!}}EG_{n,k}^{2}{\Bigg |}$

$={\Bigg |}E{\Big [}f(x+X_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot X_{n,k}$${}-{\frac {f''(x)}{2!}}X_{n,k}^{2}{\Big ]}-E{\Big [}f(x+G_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot G_{n,k}-{\frac {f''(x)}{2!}}G_{n,k}^{2}{\Big ]}{\Bigg |}$

$\leqslant E{\Bigg |}f(x+X_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot X_{n,k}$${}-{\frac {f''(x)}{2!}}X_{n,k}^{2}{\Bigg |}+E{\Bigg |}f(x+G_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot G_{n,k}-{\frac {f''(x)}{2!}}G_{n,k}^{2}{\Bigg |}.$

Przy czym ostatnia nierówność to nierówność trójkąta.

Drugi ze składników daje się na podstawie Lematu 1 oszacować w sposób następujący:

$E{\Bigg |}f(x+G_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot G_{n,k}-{\frac {f''(x)}{2!}}G_{n,k}^{2}{\Bigg |}$${}\leqslant {\frac {A}{6}}E|G_{n,k}|^{3}.$

Tymczasem $G_{n,k}={\sqrt {D^{2}X_{n,k}}}\cdot G,$ gdzie $G\sim N(0,1).$ W związku z tym (korzystając z Lematu 2):

$E|G_{n,k}|^{3}=(D^{2}X_{n,k})^{3/2}\cdot E|G|^{3}$${}\leqslant 12\cdot (D^{2}X_{n,k})^{3/2}.$

Wobec tego

${\frac {A}{6}}E|G_{n,k}|^{3}\leqslant 2A\cdot (D^{2}X_{n,k})^{3/2}$${}\leqslant 2A\cdot D^{2}X_{n,k}\cdot {\bigg (}\max _{1\leqslant k\leqslant n}{\sqrt {D^{2}X_{n,k}}}{\bigg )}.$

Pierwszy ze składników można natomiast oszacować w sposób następujący:

$E{\Bigg |}f(x+X_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot X_{n,k}-{\frac {f''(x)}{2!}}X_{n,k}^{2}{\Bigg |}$${}=E{\Bigg |}f(x+X_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot X_{n,k}-{\frac {f''(x)}{2!}}X_{n,k}^{2}{\Bigg |}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|\leqslant \epsilon \}}$${}+E{\Bigg |}f(x+X_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot X_{n,k}$${}-{\frac {f''(x)}{2!}}X_{n,k}^{2}{\Bigg |}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|>\epsilon \}}.$

Z kolei szacujemy:

$E{\Bigg |}f(x+X_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot X_{n,k}-{\frac {f''(x)}{2!}}X_{n,k}^{2}{\Bigg |}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|\leqslant \epsilon \}}$${}\leqslant {\frac {A}{6}}E|X_{n,k}|^{3}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|\leqslant \epsilon \}}$${}\leqslant {\frac {A}{6}}D^{2}X_{n,k}\cdot \epsilon$

oraz

$E{\Bigg |}f(x+X_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot X_{n,k}-{\frac {f''(x)}{2!}}X_{n,k}^{2}{\Bigg |}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|>\epsilon \}}$${}\leqslant E|f(x+X_{n,k})-f(x)-f'(x)\cdot X_{n,k}|\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|>\epsilon \}}+E{\Bigg |}{\frac {f''(x)}{2!}}X_{n,k}^{2}{\Bigg |}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|>\epsilon \}}$${}\leqslant B\cdot EX_{n,k}^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|>\epsilon \}}.$

Ostatnia nierówność wynika z Lematu 1.

Zatem $\forall x\in \mathbf {R}$ mamy następujące oszacowanie:

$|Ef(x+X_{n,k})-Ef(x+G_{n,k})|$${}\leqslant 2A\cdot D^{2}X_{n,k}\cdot {\bigg (}\max _{1\leqslant k\leqslant n}{\sqrt {D^{2}X_{n,k}}}{\bigg )}+{\frac {A}{6}}D^{2}X_{n,k}\cdot \epsilon +B\cdot EX_{n,k}^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|>\epsilon \}}.$

Trzeci krok polega na wielokrotnym zastosowaniu oszacowania uzyskanego powyżej.

$|Ef(X_{n,1}+X_{n,2}+\dots +X_{n,n})-Ef(G_{n,1}+G_{n,2}+\dots +G_{n,n})|$${}\leqslant |Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,n})-Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,n-1}+G_{n,n})|$${}+|Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,n-1}+G_{n,n})-Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,n-2}+G_{n,n-1}+G_{n,n})|$${}+\dots +|Ef(X_{n,1}+G_{n,2}+\dots +G_{n,n})-Ef(G_{n,1}+G_{n,2}+\dots +G_{n,n})|.$

Rozpatrzmy $k$-ty z powyższych wyrazów.

Podstawiamy

$Y:=X_{n,1}+\dots +X_{n,k-1}+G_{n,k+1}+\dots +G_{n,n}.$

Zmienna $Y$ jest niezależna od $X_{n,k}$ i $G_{n,k}.$ Wobec tego:

$|Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,k}+G_{n,k+1}+\dots +G_{n,n})-Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,k-1}+G_{n,k}+\dots +G_{n,n})|$${}=|Ef(Y+X_{n,k})-Ef(Y+G_{n,k})|={\bigg |}\int \limits _{R}Ef(y+X_{n,k})d\mu _{Y}(y)$${}-\int \limits _{R}Ef(y+G_{n,k})d\mu _{Y}(y){\bigg |}$${}\leqslant \int \limits _{R}|Ef(y+X_{n,k})$${}-Ef(y+G_{n,k})|d\mu _{Y}(y)$${}\leqslant 2A\cdot D^{2}X_{n,k}\cdot$${\bigg (}\max _{1\leqslant k\leqslant n}{\sqrt {D^{2}X_{n,k}}}{\bigg )}$${}+{\frac {A}{6}}D^{2}X_{n,k}\cdot \epsilon$${}+B\cdot EX_{n,k}^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|>\epsilon \}}.$

Zatem:

$|Ef(X_{n,1}+X_{n,2}+\dots +X_{n,n})-Ef(G_{n,1}+G_{n,2}+\dots +G_{n,n})|$

${}\leqslant 2A\cdot {\bigg (}\sum _{k=1}^{n}D^{2}X_{n,k}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\max _{1\leqslant k\leqslant n}{\sqrt {D^{2}X_{n,k}}}{\bigg )}$${}+{\frac {A}{6}}{\bigg (}\sum _{k=1}^{n}D^{2}X_{n,k}{\bigg )}\cdot \epsilon$${}+B\cdot {\bigg (}\sum _{k=1}^{n}EX_{n,k}^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{n,k}|>\epsilon \}}{\bigg )}$${}\leqslant 2A\cdot {\bigg (}\max _{1\leqslant k\leqslant n}{\sqrt {D^{2}X_{n,k}}}{\bigg )}$${}+{\frac {A}{6}}\epsilon +B\cdot L_{n}(\epsilon ).$

Pierwszy i ostatni składnik z warunku Lindeberga zbiegają do zera, gdy $n$ dąży do nieskończoności. W związku z tym:

$\forall \epsilon >0\;\limsup _{n\to \infty }|Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,n})-Ef(G_{n,1}+\dots +G_{n,n})|\leqslant A\cdot \epsilon .$

Oznacza to, że:

$Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,k})$${}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}Ef(G_{n,1}+\dots +G_{n,n})=Ef(G),$ gdzie $G\sim N(0,1).$

Czwarty krok polega na wyliczenie dystrybuanty granicznej na podstawie powyższych oszacowań.

Weźmy funkcję $f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ,f\in \mathbb {C} ^{3}(R)$ spełniającą warunek $\forall x\in \mathbf {R} \;\mathbf {1} _{(t+\delta ,+\infty )}(x)$${}\leqslant f(x)\leqslant \mathbf {1} _{(t,+\infty )}(x)$ dla pewnych $t\in \mathbf {R} ,\delta >0.$

Wówczas:

$P(X_{n,1}+\dots +X_{n,n}\geqslant t)\geqslant Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,n})\geqslant P(X_{n,1}+\dots +X_{n,n}\geqslant t+\delta ).$

Ale:

$Ef(X_{n,1}+\dots +X_{n,n}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}Ef(G)$

oraz

$P(G\geqslant t)\geqslant Ef(G)\geqslant P(G\geqslant t+\delta ).$

W związku z tym:

$\liminf _{n\to \infty }P(X_{n,1}+\dots +X_{n,n}\geqslant t)$${}\geqslant P(G\geqslant t+\delta ){\xrightarrow[{\delta \to 0^{+}}]{}}P(G\geqslant t)$

oraz podobnie

$\limsup _{n\to \infty }P(X_{n,1}+\dots +X_{n,n}\geqslant t)$${}\leqslant P(G\geqslant t-\delta ){\xrightarrow[{\delta \to 0^{+}}]{}}P(G\geqslant t).$

Otrzymujemy więc

$P(X_{n,1}+\dots +X_{n,n}\geqslant t){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}$$P(G\geqslant t)\Rightarrow P(X_{n,1}+\dots +X_{n,n}<t){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}P(G<t).$

Ale z ciągłości dystrybuanty rozkładu normalnego wnioskujemy, że

$P(X_{n,1}+\dots +X_{n,n}\leqslant t){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}P(G\leqslant t).$

Ponieważ punktowa zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości dystrybuanty granicznej jest równoważna zbieżności według rozkładu, więc ostatecznie:

$\sum _{k=1}^{n}X_{n,k}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{D}}N(0,1).$

$\Box$

Częste nieporozumienia

• Centralne twierdzenie graniczne nie sprawi, by przy dostatecznie dużej próbie rozkład stał się normalny. Jedynie rozkład średniej z tej próby upodabnia się do normalnego.
• Centralne twierdzenie graniczne jest prawdziwe tylko dla rozkładów o skończonej wariancji. Zobacz stabilność struktury.

Zobacz też

• prawo wielkich liczb
• twierdzenie Berry-Essena