Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji

Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji – jedno z podstawowych twierdzeń z dziedziny aproksymacji diofantycznej. Stwierdza ono, że dla dowolnej liczby niewymiernej α i dowolnej liczby naturalnej Q istnieją liczby całkowite $p$ i $0<q\leqslant Q$ takie, że spełniona jest nierówność:

$|q\cdot \alpha -p|<{\frac {1}{Q}}.$

Jeżeli przepisać tę nierówność w postaci:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{qQ}},$

natychmiast można stąd wywnioskować, że nierówność

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}},$

spełniona jest dla nieskończenie wielu par liczb względnie pierwszych p i q.

Elementarny dowód twierdzenia można przeprowadzić w oparciu o zasadę szufladkową.

Zobacz też

• liczba Liouville’a
• twierdzenie Rotha

Linki zewnętrzne

• Wojciech Czerwiński, O przybliżaniu ułamkami, Miesięcznik „Delta”, marzec 2021 [dostęp 2021-03-04].