Twierdzenie Gelfonda-Schneidera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest częściowym rozwiązaniem 7 problemu Hilberta.

Twierdzenie[edytuj]

Jeżeli i liczbami algebraicznymi, nie jest liczbą wymierną, to każda wartość jest liczbą przestępną.

Uwagi[edytuj]

  • i nie muszą być liczbami rzeczywistymi - w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
  • W ogólności , gdzie "log" oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot "każda wartość".
  • Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący:
jeżeli oraz są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to jest albo liczbą wymierną, albo przestępną.
  • Pominięcie wymogu, by było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np. i (jest to liczba przestępna), to jest liczbą algebraiczną. Pełen opis wartości tych i , dla których jest liczbą przestępną nie jest znany.

Zastosowania[edytuj]

Bezpośrednio z twierdzenia Gelfonda wynika, że następujące liczby są przestępne:

  • Stała Gelfonda-Schneidera: oraz liczba .
  • Stała Gelfonda: jest jedną z wartości .

Zobacz też[edytuj]