Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających l1
Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających ℓ1 – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że każdy ciąg ograniczony w przestrzeni Banacha zawiera podciąg, który jest słabym ciągiem Cauchy’ego bądź który jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni ℓ1. Twierdzenie opublikowane w 1974 przez Haskella Rosenthala dla rzeczywistych przestrzeni Banacha[1] oraz w 1975 przez Leonarda Dora dla przestrzeni zespolonych[2].
Omówienie pojęć występujących w wypowiedzi twierdzenia
[edytuj | edytuj kod]Słabe ciągi Cauchy’ego
[edytuj | edytuj kod]Ciąg elementów przestrzeni Banacha nazywany jest słabym ciągiem Cauchy’ego gdy dla każdego funkcjonału istnieje granica
- [3].
Każdy ciąg zbieżny w słabej topologii jest słabym ciągiem Cauchy’ego, ale nie odwrotnie. W przestrzeni c0 ciąg
jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla każdego elementu zachodzi
gdy ciąg ten nie jest jednak słabo zbieżny[4].
Ciągi równoważne z bazą kanoniczną ℓ1
[edytuj | edytuj kod]Dla każdego ograniczonego ciąg elementów przestrzeni Banacha, z nierówności trójkąta wynika, że dla każdego skończonego ciągu skalarów zachodzi
gdzie:
Ciąg jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni gdy istnieje takie że dla każdego skończonego ciągu skalarów zachodzi także nierówność
- [5].
Baza kanoniczna
przestrzeni (ani żaden inny ciąg jej równoważny) nie jest słabym ciągiem Cauchy’ego ponieważ dla każdego ciągu który nie jest zbieżny ciąg
nie ma granicy[3].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ H.P. Rosenthal, A characterization of Banach spaces containing ℓ1, Proc. Nat. Acad. Sci. (U.S.A.) 71 (1974), 2411–2413.
- ↑ L.E. Dor, On sequences spanning a complex ℓ1 space, Proc. Amer. Math. Soc. 47 (1975), 515–516.
- ↑ a b Diestel 1984 ↓, s. 200.
- ↑ Lin 2004 ↓, s. 23.
- ↑ Albiac i Kalton 2004 ↓, s. 11.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
- F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
- Pei-Kee Lin: Köthe-Bochner Function Spaces. Birkhäuser Basel, 2004. ISBN 978-0-8176-3521-3.