Twierdzenie o istnieniu globalnych rozwiązań równań różniczkowych

Twierdzenie o istnieniu globalnych rozwiązań równań różniczkowych, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego – twierdzenie dotyczące zagadnienia przedłużalności rozwiązań równań różniczkowych. Z przedłużalnością rozwiązań tych równań związane jest zagadnienie globalnego istnienia ich rozwiązania. Rozwiązania nieprzedłużalne nazywane są rozwiązaniami wysyconymi. Można wykazać, że każde rozwiązanie równania różniczkowego można przedłużyć do rozwiązania wysyconego.

Twierdzenie

Niech $J\subseteq {\mathbb {R} }$ i $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ będą zbiorami otwartymi. Niech $f:J\times \Omega \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$ będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego $(t_{0},x_{0})\in J\times \Omega$ istnieją zbiory otwarte $U\subseteq J$ i $V\subseteq \Omega$ takie, że:

• $U\subseteq {\mbox{cl}}\ (U)\subseteq J$ i $V\subseteq {\mbox{cl}}\ (V)\subseteq \Omega ,$
• $(t_{0},x_{0})\in U\times V,$
• $\exists L>0\ \forall t\in U\ \forall x,y\in V\ \|f(t,x)-f(t,y)\|\leqslant L\|x-y\|.$

Wówczas dla każdego $(t_{0},x_{0})\in J\times \Omega$ istnieje dokładnie jedno niep rozwiązanie $u:I\longrightarrow \Omega$ zagadnienia Cauchy’ego:

${\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))\\[2pt]x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

Ponadto maksymalny odcinek $I=(a,b)$ istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:

• $\inf J=a$ i $\sup J=b$

lub

• jeśli $a>\inf J,$ to $\lim _{t\to a}\min \left\{{\mbox{dist}}\left(u(t),{\mbox{bd}}\ \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0,$
• jeśli $b<\sup J,$ to $\lim _{t\to b}\min \left\{{\mbox{dist}}\left(u(t),{\mbox{bd}}\ \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0,$

Zobacz też

• twierdzenie Picarda

Bibliografia

• KrzysztofK. Frączek KrzysztofK., Równania różniczkowe [online], 2003 [dostęp 2013-03-30] .