Warunek Lipschitza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Dla funkcji spełniającej warunek Lipschitza istnieje podwójny stożek (biały), którego wierzchołek można przesuwać wzdłuż wykresu funkcji, a wnętrze pozostaje rozłączne z tym wykresem.

Warunek Lipschitza – pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji. Intuicyjnie można powiedzieć, że własność ta oznacza, że szybkość zmian wartości funkcji jest ograniczona. Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Definicja[edytuj]

Funkcja f: ℝ → ℝ spełnia warunek Lipschitza ze stałą L, gdy dla dowolnych x1, x2 ∈ ℝ zachodzi nierówność

Definicja ta naturalnie rozszerza się na funkcje określone pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.

Niech (X, d), (Y, σ) będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f: XY spełnia warunek Lipschitza ze stałą L, gdy dla dowolnych x1, x2X zachodzi nierówność

Najmniejszą liczba L dla której powyższa nierówność zachodzi dla wszelkich x2X (o ile istnieje) nazywana jest stałą Lipschitza funkcji f. Funkcje spełniające warunek Lipschitza ze stałą L < 1 nazywane są kontrakcjami.

Podstawowe własności[edytuj]

  • Niech f: (a, b) → ℝ będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas f spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza L wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest ograniczona przez L.
Dowód. Załóżmy, że f spełnia warunek Lipschitza ze stałą L. Niech x0 ∈ (a, b). Wówczas dla x ∈ (a, b), xx0:
Stąd | f ’(x0) | ≤ L. By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że | f ’(x) | ≤ L dla wszelkich x ∈ (a, b). Niech x1, x2 ∈ (a, b). Bez straty ogólności, można przyjąć, że x1 < x2. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej wynika, że istnieje takie c ∈ (x1, x2), że
.
Ponieważ | f ’(c) | ≤ L,
,
co pokazuje, że f spełnia warunek Lipschitza ze stałą L.
Dowód. Niech f: ℝ → ℝ będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą L. Niech x1, x2 ∈ ℝ oraz niech dany będzie ε > 0. Gdy δ = ε / L, to |f(x1) - f(x2)| ≤ L |x1 - x2| ≤ L ε / L = ε o ile tylko |x1 - x2| ≤ δ. Rozumowanie to przenosi się mutatis mutandis na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.

Przykłady[edytuj]

  • Funkcja f: ℝ → ℝ dana wzorem
spełnia warunek Lipschitza ze stałą L = 1. Rzeczywiście, dla x, y ∈ ℝ, xy, zachodzi
  • Funkcja f: ℝ → ℝ dana wzorem f(x) = |x| jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą warunek Lipschitza ze stałą L = 1.
  • Funkcja f: ℝ → ℝ dana wzorem f(x) = x2 nie spełnia warunku Lipschitza, bo nie jest jednostajnie ciągła.
  • Niech a < b. Funkcja f: [a, b] → ℝ dana wzorem f(x) = x2 spełnia warunek Lipschitza ze stałą L = 2 |b| gdy |b| ≤ |a| oraz ze stałą L = 2 |a| gdy |a| ≤ |b|.

Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza[edytuj]