Twierdzenie Picarda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda–Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.

Twierdzenie[edytuj]

Załóżmy, że jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja jest ciągła na zbiorze i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. (Tak więc, dla pewnej stałej L mamy, że

ilekroć .) Niech . Wówczas dla pewnego , zagadnienie początkowe

ma dokładnie jedno rozwiązanie określone na przedziale .

Uogólnienie na przestrzenie Banacha[edytuj]

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

Lokalny warunek Lipschitza[edytuj]

Niech będzie przestrzenią unormowaną oraz będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt ma otoczenie, na którym spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.

Twierdzenie Picarda[edytuj]

Niech będzie przestrzenią Banacha oraz będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze , to

  • każde rozwiązanie równania daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
  • każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
  • dla każdego punktu istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy .

Bibliografia[edytuj]

  1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979, s. 193-196.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]