Twierdzenie Picarda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda–Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja jest ciągła na zbiorze i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. Tak więc, dla pewnej stałej L mamy, że

ilekroć

Niech Wówczas dla pewnego zagadnienie początkowe

ma dokładnie jedno rozwiązanie określone na przedziale

Uogólnienie na przestrzenie Banacha[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

Lokalny warunek Lipschitza[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią unormowaną oraz będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt ma otoczenie, na którym spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.

Twierdzenie Picarda[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią Banacha oraz będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze to

  • każde rozwiązanie równania daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
  • każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
  • dla każdego punktu istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy

Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z twierdzenia Picarda można dowieść globalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, znane również jako twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego[1]. Poza faktem istnienia oraz jedyności rozwiązania opisuje ono również jego zachowanie.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie odcinkiem otwartym, zaś będą zbiorami otwartymi. Niech będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego istnieją zbiory otwarte i takie, że:

i

Wówczas dla każdego istnieje dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego:

Ponadto maksymalny odcinek istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:

  i  

lub

jeśli     to  
jeśli     to  

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Wydawnictwo Naukowe PWN, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem programu rachunków symbolicznych, wyd. Wyd. 2 - 1 dodr. (PWN), Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, [cop. 2017], ISBN 978-83-01-19591-5, OCLC 1020470973.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979, s. 193–196.
  • Krzysztof Frączek: Równania różniczkowe (pol.). [dostęp 2013-03-30].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]