Twierdzenie o oddzielaniu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenia o oddzielaniu – twierdzenia w analizie funkcjonalnej mówiące o oddzielaniu podzbiorów przestrzeni liniowo-topologicznych poprzez ciągłe funkcjonały liniowe.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech będą wypukłe, niepuste i rozłączne.

  • Jeżeli jest zbiorem otwartym, to istnieją oraz liczba rzeczywista takie, że
dla wszystkich oraz
  • Jeżeli jest przestrzenią lokalnie wypukłą, jest zbiorem zwartym oraz jest zbiorem domkniętym, to istnieją oraz liczby rzeczywiste takie, że
dla wszystkich oraz

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeżeli jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną, to dla każego istnieje taki, że

Inne twierdzenia o oddzielaniu[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią lokalnie wypukłą, a jej podprzestrzenią.

  • Dla każdego istnieje taki, że oraz
  • Jeżeli jest podzbiorem domkniętym, wypukłym, zbalansowanym i niepustym, to dla każdego istnieje takie, że oraz dla każdego