Wahadło stożkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Wahadło stożkowe.

Wahadło stożkowepunktowa masa zawieszona na nierozciągliwej nici zamocowanej w punkcie znajdująca się w polu sił grawitacyjnych. Masa obraca się wokół osi równowagi wahadła, co odpowiada temu, że nić tworzy z osią pionową cały czas taki sam kąt.

Wahadło jest szczególnym przypadkiem wahadła sferycznego.

Analiza wahadła[edytuj | edytuj kod]

Na nieważkiej nici o długości N zawieszone jest ciało o masie m zataczając poziomy okrąg ze stałą prędkością υ. Nić tworzy cały czas z pionem kąt θ[1].

Na ciało działają dwie siły: naciąg nici (N) i siła ciężkości (mg).

  • Składowa pionowa siły N równoważy przyciąganie grawitacyjne (siłę ciężkości)
    N \cos \theta = mg \,.
  • Składowa pozioma siły N jest siłą dośrodkową w ruchu po okręgu
    N \sin \theta =  \frac {mv^2}{r}
    gdzie r = L \sin \theta \,

Z powyższych równań wynika:

\frac{g} {\cos\theta} = \frac {v^2} {r\sin \theta}

Ponieważ v = \omega r (związek między prędkością liniową a kątową), przy czym  \omega = \frac {2\pi}{T} to można powyższe zapisać jako


\frac {g} {\cos \theta}
= \frac {( \frac {2 \pi r} {T} )^2} {r \sin \theta}

\frac {g} {\cos \theta}
= \frac {(2 \pi)^2 r} {T^2 \sin \theta}

stąd

T = 2 \pi \sqrt { \frac {L \cos \theta} {g} }

oraz

 \omega = \sqrt{\frac { g} {L \cos \theta}}

Dla małych kątów θ, cos(θ) ≈ 1, wówczas okres ruchu wahadła T wahadła stożkowego nie zależy od kąta wahadła i jest taki sam jak dla wahadła matematycznego o tej samej długości.

Przypisy

  1. Serway Raymond: Physics for Scientists and Engineers, second ed.. Saunders College Publishing, 1986. ISBN 0-03-004534-7.